Волны катера на течении

В системе отсчёта катера волны заполняют только угол («конус Маха»). Свяжите угол полураствора с отношением скорости волн к скорости катера, а период на берегу — с проекцией скорости волн вдоль берега.

Пусть \(v\) — скорость катера относительно стоячей воды, \(u\) — скорость распространения волн относительно поверхности стоячей воды. Запишем формулу для скорости волн, учитывая, что они близки к гармоническим: \[u = \lambda / T_0 ,\] где \(T_0\) — период волн в системе отсчёта, связанной с водой.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с катером.

В этой системе отсчёта вода движется относительно катера со скоростью \(-\vec v\), а волны распространяются относительно воды из каждой точки, в которой находился катер, во всех направлениях со скоростью, по модулю равной \(u\) (иначе говоря, гребни волн, испущенных в некоторый момент, в следующие моменты времени находятся на одинаковом расстоянии от точки испускания, которая движется со скоростью \(v\)). Из закона сложения скоростей следует, что относительно катера волны распространяются только внутри угла \(2\alpha\), изображённого на рисунке (это так называемый «конус Маха»; в трёхмерном случае волны распространяются внутри конуса). Относительно берега реки «конус Маха» как единое целое движется со скоростью \(v + V\), и поэтому гребни волн образуют с берегом тот же угол \(\alpha\), что изображён на рисунке. Из условия задачи следует, что \(u < v\) (иначе волны обгоняли бы катер, и первая волна пришла бы в точку \(A\) до того, как катер пересёк линию \(AB\)).

Рассмотрим рисунок, на котором показан гребень волны \(AD\) и набор параллельных ему гребней следующих волн.

В точку \(A\) дошла волна, испущенная из точки \(C\), а катер за это время прошёл отрезок \(CD\). Из рисунков следуют уравнения: \[\sin\alpha = \frac{u}{v}, \tag{1}\] \[L = BD \cdot \operatorname{tg}\alpha = (v + V)\,t \cdot \operatorname{tg}\alpha . \tag{2}\]

Свяжем величины \(T_0\) и \(T\) (то есть фактически учтём эффект Доплера). Если волны распространяются в стоячей воде, то скорость движения вдоль берега точки \(E\) (это точка пересечения линии гребня волны с берегом) равна \(u_1 = \dfrac{u}{\sin\alpha}\). Отрезок \(AE = \dfrac{\lambda}{\sin\alpha}\). Поэтому \(\dfrac{u}{\sin\alpha} = \dfrac{\lambda}{T_0 \sin\alpha}\). Если же волны распространяются в воде, которая течёт со скоростью \(V\), то эту скорость течения нужно добавить к скорости \(u_1\), и учесть, что изменится период волн. При этом получится соотношение \(\dfrac{u}{\sin\alpha} + V = \dfrac{\lambda}{T \sin\alpha}\), где \(T\) — заданный в условии задачи период волн, наблюдаемых в системе отсчёта, связанной с берегом.

Отсюда \[u = \frac{\lambda}{T} - V\sin\alpha . \tag{3}\] Из уравнений (1) и (3) получаем: \[v + V = \frac{\lambda}{T \sin\alpha}. \tag{4}\] Из уравнений (2) и (4): \[v + V = \frac{L}{t \cdot \operatorname{tg}\alpha} = \frac{\lambda}{T \sin\alpha}.\] Отсюда \(\cos\alpha = \dfrac{\lambda t}{LT}\), \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\dfrac{\lambda t}{LT}\right)^2}\). С учётом этого из (4) окончательно находим: \[v = \frac{\lambda}{\sqrt{T^2 - \left(\dfrac{\lambda t}{L}\right)^2}} - V .\] Отметим, что, поскольку \(u < v\), то \(V < \dfrac{\lambda}{\sqrt{T^2 - (\lambda t/L)^2}}\), то есть \(v > 0\).