Росатом, 2017/18, заключительный этап, 11 класс

Момент искомой силы относительно шарнира должен уравновесить момент силы тяжести. При каком направлении и точке приложения плечо силы максимально?

\(F = \dfrac{4}{3\sqrt5}\,mg\).

Чтобы треугольник был в равновесии, момент искомой силы \(\vec F\) относительно шарнира должен быть равен по величине моменту силы тяжести. Поэтому сила \(F\) будет минимальна, если будет максимальным ее плечо относительно шарнира. Следовательно, внешнюю силу нужно приложить к точке треугольника, максимально удаленной от шарнира, и направить перпендикулярно отрезку, соединяющему эту точку с шарниром. То есть внешняя сила \(\vec F\) приложена к вершине угла \(\pi/2 - \alpha\) и направлена перпендикулярно гипотенузе (см. рисунок).

Пусть длина меньшего катета треугольника равна \(a\). Тогда длина большего катета — \(2a\), а длина гипотенузы — \(\sqrt5 a\). Момент силы \(\vec F\) относительно шарнира \(M_F = \sqrt5\,Fa\). Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, поэтому плечо силы тяжести относительно шарнира равно двум третьим горизонтального катета: \(M_{mg} = \frac23 mg\cdot 2a = \frac43 mga\). Условие моментов дает \[\sqrt5\,Fa = \frac43\,mga \quad\Rightarrow\quad F = \frac{4}{3\sqrt5}\,mg.\]

Запишите закон Ома для всей цепи до и после подключения сопротивления параллельно вольтметру; внутреннее сопротивление источника и сопротивление амперметра войдут в комбинацию \(I(r + r_A)\).

\(U_V = \dfrac{2}{3}\,\varepsilon\).

По закону Ома для замкнутой цепи (без дополнительного сопротивления) ток в цепи (он равен току через амперметр) \[I = \frac{\varepsilon}{r + r_A + r_V},\] где \(r\) — внутреннее сопротивление источника, \(r_A\) — сопротивление амперметра, \(r_V\) — сопротивление вольтметра. Отсюда напряжение на вольтметре \[U_V = I r_V = \frac{\varepsilon r_V}{r + r_A + r_V} = \varepsilon - I(r + r_A). \qquad (*)\] Аналогично, когда параллельно вольтметру подключают сопротивление \(R\), напряжение на вольтметре равно \(U'_V = \varepsilon - I'(r + r_A)\). По условию \(I' = 2I\) и \(U'_V = U_V/2\), отсюда \[\frac{U_V}{2} = \varepsilon - 2I(r + r_A). \qquad (**)\] Выражая \(I(r + r_A)\) из \((*)\) и подставляя в \((**)\), получим \(\dfrac{U_V}{2} = \varepsilon - 2(\varepsilon - U_V)\), откуда \[U_V = \frac{2}{3}\,\varepsilon.\]

Представьте время как сумму малых интервалов \(\Delta t = \Delta v / a\) и сведите ее к площади под графиком некоторой функции от скорости.

\(\tau = \dfrac{4v_0}{a_0}\).

При прямолинейном движении мгновенное ускорение определяется как \(a = \Delta v/\Delta t\), поэтому изменение скорости за малый интервал времени \(\Delta t\) равно \(\Delta v = a\,\Delta t\). Суммируя по всем малым интервалам, получаем \[\sum_n \frac{\Delta v_n}{a_n} = \sum_n \Delta t_n,\] где \(a_n\) — ускорение тела внутри малого интервала \(\Delta t_n\). Подставляя зависимость ускорения от скорости, \[\frac{1}{a_0 v_0}\sum_n \Delta v_n\,(v_n + v_0) = \sum_n \Delta t_n,\] где \(v_n\) — значение скорости внутри \(n\)-го интервала. Правая часть дает время \(\tau\), в которое скорость станет равна \(2v_0\). Левая часть есть площадь под графиком функции \(f(v) = v + v_0\) на отрезке от \(0\) до \(2v_0\) (см. рисунок):

Площадь трапеции с основаниями \(v_0\) и \(3v_0\) и высотой \(2v_0\) равна \(4v_0^2\), поэтому \[\tau = \frac{4v_0^2}{a_0 v_0} = \frac{4v_0}{a_0}.\]

Закон сохранения энергии (работа силы тяжести идет на внутреннюю энергию газа), условие равновесия поршня и равенство внутренних энергий газа над и под поршнем.

\(\Delta x = \dfrac{\sqrt{9p_0^2S^2 + 15m^2g^2} - 3p_0S}{5mg}\,l\), где \(l = h/2\); при \(m \to \infty\) \(\Delta x \to \sqrt{\dfrac35}\,l\).

Поскольку поршень хорошо проводит тепло, температура газа в отсеках одинакова. После того как на чашку положили тело, тело вместе с поршнем опустилось вниз, и потенциальная энергия тела перешла во внутреннюю энергию газа. Поэтому, если поршень опустился на величину \(\Delta x\), закон сохранения энергии дает \[mg\,\Delta x = \frac32 p_{\text{в}} S(l + \Delta x) + \frac32 p_{\text{н}} S(l - \Delta x) - \frac32\cdot 2p_0 S l, \qquad (*)\] где \(2l = h\) — длина сосуда, \(p_{\text{н}}\) и \(p_{\text{в}}\) — давления газа в верхней и нижней частях сосуда. Из условия равновесия поршня \[mg = (p_{\text{н}} - p_{\text{в}}) S. \qquad (**)\] Внутренние энергии газа над и под поршнем равны, поэтому \[p_{\text{в}}(l + \Delta x) = p_{\text{н}}(l - \Delta x). \qquad (***)\] Исключая давления из системы \((*)\)–\((***)\), получим уравнение \[5mg\,\Delta x^2 + 6p_0 S l\,\Delta x - 3mgl^2 = 0,\] откуда \[\Delta x = \frac{\sqrt{9p_0^2S^2 + 15m^2g^2} - 3p_0S}{5mg}\,l.\] При \(m \to \infty\) поршень не ляжет на дно сосуда, даже несмотря на бесконечную силу тяжести: большая масса дает большое смещение, сильный нагрев газа и рост разности давлений. Пренебрегая в этом случае величиной \(p_0 S\) по сравнению с \(mg\), получим \[\Delta x = \sqrt{\frac35}\,l.\]

Поток через грани куба суммарно равен нулю. Сверхпроводящий виток сохраняет полный поток через себя, поэтому в нем индуцируется ток, компенсирующий внешний поток.

\(L_2 = L\left[1 - \left(1 - 4\sqrt{1 - \dfrac{L_1}{L}}\right)^2\right]\).

Пропустим через первый виток ток \(I\). Тогда поток магнитного поля через него \(\Phi = LI\). Поскольку магнитных зарядов не существует, суммарный поток через любую замкнутую поверхность, в состав которой входит наш виток (в частности, через куб, для которого рассматриваемый виток является одной гранью), равен нулю. Поэтому \[\Phi = 4\Phi_{12} + \Phi_{16},\] где \(\Phi_{12}\) — поток через соседнюю грань куба, \(\Phi_{16}\) — поток через противоположную грань. Поскольку поток через сверхпроводящий виток должен быть равен нулю, при его поднесении в нем индуцируется ток \(I_1\), создающий точно такой же (но противоположный) поток через себя. Ток \(I_1\) создает магнитный поток через основной виток, во столько же раз меньший потока \(\Phi\), во сколько ток \(I_1\) меньше тока \(I\). Поэтому поток через основной виток \[\Phi - \frac{I_1}{I}\Phi_{12} = \Phi\left(1 - \frac{\Phi_{12}^2}{\Phi^2}\right). \qquad (3)\] С другой стороны, этот поток по определению равен \(L_1 I\). Отсюда \[\frac{\Phi_{12}}{\Phi} = \sqrt{1 - \frac{L_1}{L}}. \qquad (4)\] В результате из формулы \((2)\) находим \[\Phi_{16} = \Phi\left(1 - 4\sqrt{1 - \frac{L_1}{L}}\right). \qquad (5)\] Если теперь убрать боковой виток и разместить сверхпроводящий виток на противоположной грани куба, то в нем возникнет ток \(I_2\), который компенсирует поток \(\Phi_{16}\) через себя, а через основной виток создаст поток, во столько же раз меньший \(\Phi_{16}\), во сколько \(I_2\) меньше \(I\). Поэтому поток через основной виток \[\Phi_2 = \Phi\left(1 - \frac{\Phi_{16}^2}{\Phi^2}\right). \qquad (6)\] Этот поток по определению равен \(L_2 I\), поэтому \[L_2 = L\left[1 - \left(1 - 4\sqrt{1 - \frac{L_1}{L}}\right)^2\right].\]