Кручение

Момент силы упругости при равновесии равен моменту груза \(mgd\), а угол кручения находите по смещению стрелки на линейке: \(\varphi=\Delta h/L\). Закон Гука означает прямую пропорциональность \(\varphi\) нагрузке; степень в зависимости \(K(L)\) находят по наклону графика в логарифмических координатах или из линейности при малых \(L\).

1.2) при нагрузке \(\varphi\propto N\), закон Гука выполняется; 1.3) при разгрузке угол отстаёт от нагрузки из-за остаточных деформаций стержня; 1.4) \(K=\dfrac{a}{mgd}\), где \(a\) — коэффициент наклона \(\varphi(N)\); в образце организаторов \(K=(7{,}34\pm0{,}08)\cdot10^3\ (\text{Н}\cdot\text{м})^{-1}\), физический смысл — угол кручения при единичном моменте сил; 2.4) \(\alpha=1\) (\(K\) пропорционален длине деформируемой части).

Во всех экспериментах использовались следующие значения параметров: расстояние от оси стержня до точки подвеса грузов \(d = 50\text{мм}\), расстояние от оси стержня до измерительной линейки \(L = 280\text{мм}\). Угол кручения рассчитывался по формуле

\[\varphi = \frac{\Delta h}{L},\tag{1}\]

где \(\Delta h\) - изменение высоты подъема стрелки при нагрузке.

Часть 1. Закон Гука.

В Таблице 1 приведены измеренные значения \(\Delta h\) при максимальной длине деформируемой части стержня \(l = 78\text{мм}\).

Таблица 1. Зависимость угла кручения от нагрузки (\(N\) - числа гвоздей в стакане)

На рисунке представлен график полученной зависимости.

Как видно, при нагрузке (при последовательном увеличении нагрузки) угол кручения прямо пропорционален приложенной нагрузке, то есть закон Гука выполняется.

При последовательном уменьшении нагрузки (при разгрузке) наблюдается некоторое «отставание» угла кручения от уменьшающейся нагрузки, что, очевидно связано с наличием остаточных деформаций в стержне.

Для определения коэффициента пропорциональности предпочтительнее воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК), либо провести обработку линейной зависимости графически.

В данном случае коэффициенты линейной зависимости

\[\varphi = aN + b,\tag{1}\]

рассчитанные по МНК, оказались равными

\[a = (3{,}60 \pm 0{,}04) \cdot 10^{-2} \frac{\text{радиан}}{\text{гвоздь}}.\]

\[b = (3 \pm 2) \text{рад}\]

Так как коэффициент \(b\) оказался близким к нулю, а погрешность коэффициента \(a\) около \(1\%\), то можно считать, что зависимость прямо пропорциональная, что еще раз подтверждает применимость закона Гука в данном случае.

Для расчета коэффициента пропорциональности \(K\) в формуле закона Гука, необходимо произвести пересчет (масса одного гвоздя \(m = 10\,\text{г}\))

\[\begin{cases} \varphi = aN \\ \varphi = KNmgd \end{cases} \Rightarrow K = \frac{a}{mg} = \frac{3{,}60 \cdot 10^{-2}}{10^{-2} \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81 \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-2}} \approx 7{,}34 \cdot 10^{3} (H \cdot \text{м})^{-1};\]

\[\Delta K = K \frac{\Delta a}{a} = 8 \cdot 10^{1} (H \cdot \text{м})^{-1}\]

Окончательно, получаем значения коэффициента

\[K = (7{,}34 \pm 0{,}08) \cdot 10^{3} (H \cdot \text{м})^{-1}\tag{2}\]

Смысл коэффициента – угол кручения, при единичном приложенном моменте сил.

Часть 2. Коэффициент пропорциональности.

В Таблице 2 приведены измеренные значения углов кручения стержня в зависимости от приложенной нагрузки (в гвоздях) и для различных длин деформируемой части стержня \(l\) (в мм). В предпоследней строке приведены значения коэффициента \(a\) (\(a' = a \cdot 10^2\) - для экономии места), которые нами рассчитаны по МНК, хотя их значения можно снять по графику, который приведен ниже.

Таблица 2. Зависимости угла кручения от нагрузки при разных длинах деформируемой части стержня.

Из графика видно, что при всех длинах деформируемой части стержня приближенно наблюдается прямо пропорциональная зависимость. В последней строке приведены результаты расчетов коэффициента пропорциональности \(K\) (\(K' = K \cdot 10^{-3}\))

График 2. Зависимости угла кручения от нагрузки (для разных длин стержня)

Наконец, строим график зависимости коэффициента пропорциональности в формуле закона Гука от длины деформируемой части стержня. Из этого графика видно, что при небольших длинах этот коэффициент пропорционален длине свободной части стержня, отсюда можно сделать вывод, что показатель степени в формуле \(K = CL^{\alpha}\) равен единице:

\[\alpha = 1,\]

что также следует из теории упругости. Возможно, что последние точки отклонились от прямой, из-за того, что угол кручения перестал быть малым, и следовало бы рассчитывать угол с помощью арктангенса – но только этого еще не хватало!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.