Резинка и пружина

При параллельном соединении удлинения одинаковы, а силы складываются. Выразите удлинение через массу \(m_1\), которую «держит» резинка, и найдите пересечение полученной прямой с графиком резинки.

Искомый график строится графически: для каждой массы \(m\) берётся точка пересечения прямой \(\Delta l=\dfrac{g}{k}(m-m_1)\) с заданным графиком \(\Delta l(m_1)\) для резинки (график — в решении).

9-1. При параллельном соединении резинки и пружины их удлинения \(\Delta l\) одинаковы, а сумма сил упругости резинки \(F_1\) и пружины \(F_2\) равна весу подвешенного груза:

\[F_1 + F_2 = mg.\tag{1}\]

Учитывая, что деформация пружины подчиняется закону Гука \(F_2 = k\Delta l\), запишем выражение для деформации пружины в виде

\[\Delta l = \frac{mg - F_1}{k}.\tag{2}\]

Зависимость деформации резины от приложенной силы \(\Delta l(F_1)\) задана в виде графика, поэтому деформация системы может быть найдена как решение системы уравнений (2) и представленной зависимости. Однако, величина деформации резины дана в виде функции от массы подвешенного груза, иными словами \(F_1 = m_1 g\), где \(m_1\) - масса, которую «удерживает» резина. Поэтому запишем уравнение (2) в виде зависимости от \(m_1\):

\[\Delta l = \frac{g}{k}(m - m_1).\tag{3}\]

График зависимости \(\Delta l\) от \(m_1\) представляет прямую линию пересекающую ось абсцисс в точке \(m_1 = m\) с коэффициентом наклона \(g/k\), а решение системы есть точка пересечения данной прямой с графиком зависимости деформации резины от массы прикрепленного груза.

Проведя семейство прямых, подчиняющихся уравнению (3), для различных значений \(m\), получим искомый набор значений деформаций системы «резинка-пружина». График такой зависимости представлен на рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.