Цилиндр в сосуде с жидкостью

Минимальная работа равна изменению потенциальной энергии системы «цилиндр + жидкость»; жидкость после удаления цилиндра ляжет слоем известной толщины.

\(A=\dfrac{4-\pi}{2}R^3Lg\left(\pi\rho-\left(2+\dfrac{\pi}{2}\right)\rho_0\right)\).

9-4. Минимальную работу в данном случае легко подсчитать как изменение потенциальной энергии системы. Объем воды в сосуде

\[V = 4R^2L - \pi R^2L;\]

после того как цилиндр достанут из воды вода заполнит дно сосуда слоем толщиной

\[h = \frac{V}{2RL} = (2 - \frac{\pi}{2})R.\]

Следовательно, на такую же высоту необходимо поднять цилиндр. Изменение его потенциальной энергии при этом

\[\Delta U_1 = mgh = \pi R^3L\rho g(2 - \frac{\pi}{2}).\]

Потенциальная энергия воды уменьшится на величину

\[\Delta U_2 = (4 - \pi)R^2L\rho_0g(R - \frac{h}{2}) = (4 - \pi)R^3L\rho_0g(1 + \frac{\pi}{4}),\]

при записи этого соотношения учтено, что первоначально центр тяжести воды находился на высоте \(R\), а затем оказался на высоте \(\frac{h}{2}\). Таким образом, полное изменение энергии (следовательно, и необходимая работа) рассчитываются по формуле

\[A = \Delta U = \Delta U_1 - \Delta U_2 = \frac{4 - \pi}{2}R^3Lg(\pi\rho - (2 + \frac{\pi}{2})\rho_0).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.