Верёвка на горке

Запишите второй закон Ньютона для малого участка верёвки вдоль её направления и сложите уравнения для всех участков: натяжения внутри верёвки сократятся.

\(a=\dfrac{F}{m}-\dfrac{h}{L}\,g\).

9-5. Рассмотрим силы, действующие на небольшой участок веревки длиной \(\Delta l_i\) - сила тяжести \(\Delta m_i\vec{g}\), и натяжения веревки с двух сторон от выделенного участка \(\vec{T}_{1i}\) и \(\vec{T}_{2i}\). Запишем уравнение второго закона Ньютона для выделенного кусочка в проекции на направление самого участка (на рисунке обозначена ось \(x\)):

\[\Delta m_ia = T_{2i} - T_{1i} - \Delta m_ig\cos\alpha_i,\]

Выразим массу кусочка \(\Delta m_i = \frac{m}{L}\Delta l_i\) и подставим в полученное уравнение

\[\frac{m}{L}\Delta l_ia = T_{2i} - T_{1i} - \frac{mg}{L}\Delta l_i\cos\alpha_i,\]

где \(a\) - ускорение веревки.

Просуммируем уравнения, относящиеся ко всем участкам веревки. Учтем, что силы натяжения отдельных участков встречаются дважды, причем с различными знаками, поэтому их сумма для всех внутренних участков обратится в нуль, останется только сила натяжения одного из концов веревки (то есть \(F\)). Очевидно, что сумма длин \(\Delta l_i\) равна длине веревки \(L\); величина \(\Delta l_i \cos \alpha_i = \Delta h_i\) есть разность высот концов выделенного участка, поэтому сумма этих величин равна \(h\). Таким образом, после суммирования получим

\[ma = F - \frac{h}{L} mg.\]

Откуда находим ускорение

\[a = \frac{F}{m} - \frac{h}{L} g.\]

Данная задача может быть также легко решена с использованием энергетического подхода. Пусть за время \(\Delta t\) веревка сместилась на расстояние \(\Delta x\), тогда сила \(F\) совершила работу \(A = F \Delta x\), которая пошла на увеличение кинетической \(\Delta E_{\text{кин.}} = \Delta \left( \frac{mv^2}{2} \right) = mv \Delta v\) и потенциальной энергии \(\Delta E_{\text{пот.}} = m \frac{\Delta x}{L} gh\) веревки. Таким образом,

\[F \Delta x = mv \Delta v + m \frac{\Delta x}{L} gh.\]

Разделим это уравнение на \(\Delta t\) (с учетом \(\frac{\Delta x}{\Delta t} = v, \frac{\Delta v}{\Delta t} = a\)) и сократим на \(v\), получим

\[F = ma + \frac{h}{L} mg,\]

откуда следует ответ задачи.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.