Росатом, 2021/22, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Что происходит при центральном упругом столкновении двух тел одинаковой массы? Какой путь до полной остановки проходит движущееся тело под действием трения?

Ответ

\(n = 10\) тел.

Решение

При центральном упругом столкновении тел одинаковой массы они обмениваются скоростями. Поэтому в каждый момент времени в цепочке движется только одно тело, причём с той скоростью, до которой трение успело затормозить движение: первое тело после удара о второе останавливается, а второе начинает двигаться с его скоростью, и т.д.

Поскольку тела точечные и каждое тело передаёт свою скорость следующему, торможение происходит так, как будто движется одно тело. Теорема об изменении кинетической энергии для полной остановки дает \[0 - \frac{m v_0^2}{2} = -\mu m g S ,\] откуда расстояние, на котором движение полностью прекратится, \[S = \frac{v_0^2}{2\mu g}.\] Поскольку расстояние между телами равно \(l\), в движение будет вовлечено количество тел \[n = \left[\frac{S}{l}\right] = \left[\frac{v_0^2}{2\mu g l}\right] = 10 ,\] где \([\dots]\) — целая часть.

Подсказка

Скорость бусинки максимальна там, где касательные составляющие силы упругости и силы тяжести уравновешивают друг друга. Какая сила упругости действует в нижней точке?

Ответ

\(l_0 = \dfrac{R}{\sqrt{3} - 1} \approx 1{,}37\,R\).

Решение

Пусть коэффициент жёсткости пружины равен \(k\), её длина в недеформированном состоянии \(l_0\). В нижнем положении пружина растянута, и сила упругости равна \(F_{\text{упр}} = 3mg\) (чтобы обеспечить давление бусинки на кольцо с силой, вдвое превышающей её силу тяжести). Поэтому \[k\,(2R - l_0) = 3mg .\] Движение бусинки вдоль кольца определяется касательными составляющими сил упругости и тяжести. Скорость бусинки максимальна, когда бусинка проходит треть полукольца, т.е. направление на бусинку составляет угол \(60^\circ\) с вертикалью. В этом положении длина пружины равна \(2R\cos 30^\circ\), и условие максимальности скорости \[F_{\text{упр}}\cos 60^\circ = mg\cos 30^\circ ,\] или \[k\left(2R\,\frac{\sqrt{3}}{2} - l_0\right)\frac{1}{2} = mg\,\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Деля первое уравнение на второе, получаем \(l_0 = \dfrac{R}{\sqrt{3} - 1} = 1{,}37\,R\).

Подсказка

Поршни в любой момент в равновесии, значит, давление в каждом отсеке постоянно. Как связаны изменения объёмов отсеков, если температуры меняются одинаково?

Ответ

\(\Delta x_{\text{верх}} = \dfrac{Q}{6mg}\).

Решение

Поскольку тепло подводится медленно, поршни в любой момент времени находятся в равновесии, и давление газа в каждом отсеке остаётся неизменным. Давления в отсеках сверху вниз равны \[p_1 = \frac{mg}{S} = p, \qquad p_2 = 2p, \qquad p_3 = 3p, \qquad p_4 = 4p ,\] где \(S\) — площадь сечения сосуда. Процесс изобарический, и температура газа во всех отсеках меняется одинаково, поэтому отношение объёмов отсеков сохраняется: \(V_1 : V_2 : V_3 : V_4 = 2 : 3 : 4 : 1\), а отношение их изменений тоже \(\Delta V_1 : \Delta V_2 : \Delta V_3 : \Delta V_4 = 2 : 3 : 4 : 1\). Если нижний поршень сместится вверх на \(\Delta x\), то второй снизу сместится на \(5\,\Delta x\), третий снизу — на \(8\,\Delta x\), верхний — на \(10\,\Delta x\).

Первый закон термодинамики для изобарических процессов в отсеках даёт \(Q = \dfrac{5}{2}\sum p_i \Delta V_i\), откуда \[Q = \frac{5}{2}\,pS\,(2\Delta x + 6\Delta x + 12\Delta x + 4\Delta x) = 60\,mg\,\Delta x ,\] так что \(\Delta x = \dfrac{Q}{60\,mg}\), а смещение верхнего поршня \[\Delta x_{\text{верх}} = 10\,\Delta x = \frac{Q}{6\,mg}.\]

Подсказка

Верёвку втягивают медленно, поэтому сумма сил на любой её кусок равна нулю, а сила трения на лежащей части максимальна. Рассмотрите равновесие висящего куска \(BC\) и лежащего куска \(CD\).

Ответ

\(\mu = \dfrac{1}{3}\operatorname{ctg}\alpha\);  \(F = \dfrac{m_{CD}\,g}{3\sin\alpha} + \dfrac{(3m - 4m_{CD})\,g\,(1 - \cos\alpha)}{3\alpha}\) (\(\alpha\) в радианах).

Решение

Поскольку верёвку втягивают медленно, в каждый момент сумма сил, действующих на неё и на любую её часть, равна нулю, а сила трения равна своему максимальному значению.

Для висящего куска \(BC\) массой \(m_1\) условия равновесия в проекциях на вертикаль и горизонталь дают \[T_B \sin\alpha = m_1 g, \qquad T_B \cos\alpha = T_C ,\] откуда \[T_C = m_1 g\operatorname{ctg}\alpha .\]

Для лежащего куска \(CD\) массой \(m_2\) (сила реакции опоры \(N\), сила трения \(\mu N\)): \[N = m_2 g, \qquad T_C = \mu N .\] Отсюда \(m_1\operatorname{ctg}\alpha = \mu m_2\), где \(m_1 = \dfrac{m_{CD}}{3}\) и \(m_2 = m_{CD}\), так что \[\mu = \frac{m_1}{m_2}\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{3}\operatorname{ctg}\alpha .\] Чтобы найти силу \(F\), приложенную в точке \(A\), рассмотрим равновесие участка \(AB\). Разобьём его на малые элементы \(\Delta m\); для элемента, лежащего на полушаре и наклонённого под углом \(\varphi\), вдоль элемента \[T_{\text{в}} - T_{\text{н}} = \Delta m\,g\sin\varphi .\]

Складывая такие соотношения по всем элементам, сокращаются все внутренние силы; сумма \(\sum \Delta l\,\sin\varphi\) есть проекция участка \(AB\) на вертикаль, равная \(R(1 - \cos\alpha)\). Линейная плотность верёвки \(\lambda\) выражается через массу участка на полушаре \(m_{AB} = \lambda\alpha R\) (\(\alpha\) в радианах), поэтому \[F = T_B + \lambda R g(1 - \cos\alpha) = T_B + \frac{m_{AB}\,g\,(1 - \cos\alpha)}{\alpha} .\]

Массу участка \(AB\) найдём как \[m_{AB} = m - m_{CD} - m_{BC} = m - m_{CD} - \frac{m_{CD}}{3} = \frac{3m - 4m_{CD}}{3} .\] Окончательно, с учётом \(T_B = \dfrac{m_{CD}\,g}{3\sin\alpha}\), \[F = \frac{m_{CD}\,g}{3\sin\alpha} + \frac{(3m - 4m_{CD})\,g\,(1 - \cos\alpha)}{3\alpha}.\]

Подсказка

Вращающийся заряженный цилиндр эквивалентен соленоиду с током: какое магнитное поле возникает внутри него? Что создаёт изменение этого поля?

Ответ

\(\omega_{\text{к}} = \dfrac{\mu_0\,\sigma R\,q}{2m}\,\omega\), где \(q\) — заряд колечка; колечко вращается в сторону, противоположную вращению цилиндра.

Решение

Заряды цилиндра, вращаясь, создают внутри него магнитное поле, аналогичное полю соленоида: при угловой скорости \(\omega\) внутри цилиндра \[B = \mu_0\,\sigma R\,\omega .\] При раскручивании цилиндра это поле меняется, и возникает вихревое электрическое поле, осесимметричное относительно оси цилиндра. По закону электромагнитной индукции на расстоянии \(r\) от оси \[E(r) = \frac{1}{2}\,r\,\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{1}{2}\,r\,\mu_0\,\sigma R\,\frac{\Delta\omega}{\Delta t}.\] На каждый элемент колечка с зарядом \(\Delta q\) действует сила \(\Delta F = \Delta q\,E(r)\), поэтому все элементы колечка получают одно и то же ускорение \[a = \frac{1}{2}\,\frac{r\,q}{m}\,\mu_0\,\sigma R\,\frac{\Delta\omega}{\Delta t}.\] Складывая приращения скорости за все малые промежутки времени раскручивания, получаем скорость точек колечка \(v_{\text{к}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\mu_0\sigma R r q}{m}\,\omega\) и его угловую скорость \[\omega_{\text{к}} = \frac{v_{\text{к}}}{r} = \frac{\mu_0\,\sigma R\,q}{2m}\,\omega .\] По правилу Ленца собственное поле колечка направлено против поля цилиндра, поэтому колечко вращается в сторону, противоположную направлению вращения цилиндра.