Разминка

Подсказка

Цепь — гибкая нить: сила натяжения в её нижней точке горизонтальна, а у конца уравновешивает вес половины цепи. Для пружин с блоком — условие равновесия блока; для фрактала — самоподобие: добавление внешнего квадрата не меняет сопротивления цепочки.

Ответ

1.1) \(F\approx 32\) Н, \(A\approx 30\) Дж; 1.2) \(F_{\min}=kh/5=10\) Н; 1.3) \(R_{AC}\approx 0{,}85\) Ом.

Решение

Задача 10.1.1

Условие равновесия цепи в проекции на вертикальное направление имеет вид

\[2F \sin \alpha = mg,\tag{1}\]

где \(F\) - сила натяжения цепи в крайних точках и равная ей сила, с которой надо удерживать веревку. Для определения угла \(\alpha\) между касательной к цепи и горизонтом необходимо знать форму, которую принимает цепь под действием силы тяжести. Решение этой проблемы известно, но достаточно сложно. В данном случае расстояние между концами цепи немного меньше ее длины. Поэтому цепь изогнута слабо, ее профиль можно

аппроксимировать кривой второго порядка – проще всего дугой окружности. В этом приближении найти угол \(\alpha\) не составляет труда. Проведя перпендикуляры к касательным в крайних точках, определим центр окружности \(O\) как точку их пересечения. Теперь длина участка цепи между нижней и крайней точками (она равна половине длины всей цепи \(\frac{L}{2}\)) выражается формулой

\[\frac{L}{2} = R\alpha,\tag{2}\]

а длина половины хорды

\[\frac{l}{2} = R \sin \alpha \approx R \left( \alpha - \frac{\alpha^3}{6} \right)\tag{3}\]

где использована приближенная формула для синуса малого угла.

Отметим, что в линейном приближении различие между длиной дуги и стягивающей ее хорды отсутствует, поэтому необходимо использовать приближение следующего порядка.

Из формул (3) –(2) получаем соотношение

\[\frac{l}{L} = 1 - \frac{\alpha^2}{6}.\tag{4}\]

Обозначим \(l = (1 - \eta)L\), где \(\eta\) - малый безразмерный параметр, согласно условию задачи \(\eta = 0{,}10\). С использованием этого удобного обозначения значения искомого угла определяется формулой

\[\alpha \approx \sqrt{6\eta}.\tag{5}\]

Теперь из формулы (1) определяем значение силы

\[F = \frac{mg}{2 \sin \alpha} \approx \frac{mg}{2\sqrt{6\eta}} \approx 32 \text{Н},\tag{6}\]

что больше половины веса веревки.

Для того чтобы оценить работу по выпрямлению веревки можно проинтегрировать выражение для силы в зависимости от параметра \(\eta\) (учитывая, что \(x = (1 - \eta)L\), \(dx = -L d\eta\))

\[A = \int_{l}^{L} F dx = L \int_{0}^{\eta_0} F d\eta = \frac{mgL}{2\sqrt{6}} \int_{0}^{\eta_0} \frac{d\eta}{\sqrt{\eta}} = \frac{mgL\sqrt{\eta_0}}{\sqrt{6}} \approx 30 \text{ Дж}.\]

Дополнения.

1. Отметим, что для полного выпрямления веревки необходимо приложить бесконечно большую силу: из формулы (6) следует, что при \(\eta \to 0\) \(F \to \infty\). Тем не менее, работа, совершенная при выпрямлении веревки, конечна.

2. Задача может быть решена и в более грубом приближении: если форму веревки считать в виде двух отрезков прямой линии.

В этом приближении зависимость угла наклона приложенной к веревке силы определяется из очевидного выражения \(\cos \alpha = \frac{l}{L} = 1 - \eta\).

Так как угол наклона мал, то допустимо использовать приближенную формулу \(\cos \alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}\). Тогда искомый угол описывается формулой \(\alpha \approx \sqrt{2\eta}\), которая с точностью до постоянного коэффициента совпадает с использованной в решении формулой (5). Отличие между этими выражениями менее, чем в два раза, поэтому обе полученные оценки можно считать вполне приемлемыми.

Задача 10.1.2

Если мысленно заменить верхнюю пружину нерастяжимой веревкой, то под действием силы \(\vec{F}\), направленной вниз, нить через гладкий блок растянет нижнюю пружину вверх на величину

\[\Delta x_{1}=\frac{F}{k}.\]

Поскольку нить нерастяжима, то на такую же величину \(\Delta x_{1}\) опустится конец \(A\) веревки.

Из условия равновесия конца \(A\) веревки следует, что сила натяжения нити при этом \(T=F\).

Теперь «вернем» верхнюю пружину на место, ведь по условию задачи блок «подвижный». На блок вниз действуют две силы натяжения нити \(T\) (Рис. 2), а вверх — сила упругости \(\vec{F}_{\text{У}}\) верхней пружины. Из условия равновесия блока получим

\[F_{\text{У}}=k \Delta x_{2}=2 T=2 F \quad \Rightarrow \quad \Delta x_{2}=\frac{2 F}{k},\]

где \(\Delta x_{2}\) — абсолютная деформация верхней пружины. Следовательно, в положении равновесия нижний конец верхней пружины (центр блока) опустится на \(\Delta x_{2}\).

Поскольку при опускании центра блока на \(\Delta x_{2}\) «освободится» участок нити длиной \(2 \Delta x_{2}\), то результирующее смещение \(\Delta x\) вниз конца нити \(A\) с учетом деформаций обеих пружин составит

\[\Delta x=\Delta x_{1}+2 \Delta x_{2}=\frac{F}{k}+2 \frac{2 F}{k}=5 \frac{F}{k}.\]

Для касания веревкой земли должно быть выполнено условие

\[\Delta x=h \quad \Rightarrow \quad \frac{5 F}{k}=h \quad \Rightarrow \quad F=\frac{k h}{5}.\]

Расчет дает

\[F=\frac{k h}{5}=10 \text{ Н}.\tag{1}\]

Поскольку при меньшем значении силы \(F\) конец \(A\) веревки не дотянет до земли (колебания в системе отсутствуют), то (1) дает искомое значение \(\vec{F}_{\min }\)

\[F_{\min }=\frac{k h}{5}=10 \text{ Н}.\]

Дополнение.

Решение данной задачи можно сделать и покороче. Обозначим \(\Delta x_{1}\) - деформацию нижней пружины. Тогда из условия равновесия блока и закона Гука следует, что деформация верхней пружины должна быть в два раза больше \(\Delta x_{2}=2 \Delta x_{1}\). Далее из условия не растяжимости веревки, переброшенной через блок, следует, что ее конец опустится на расстояние \(h=2 \Delta x_{2}+\Delta x_{1}=5 \Delta x_{1}\). Наконец, искомая сила натяжения веревки равна силе упругости нижней пружины, то есть

\[F=k \Delta x_{1}=\frac{k h}{5}.\]

Впрочем, эти элементарные выкладки нуждаются в физических обоснованиях, приведенных в основном решении.

Задача 10.1.3

Поскольку электрическое сопротивление \(R = \rho \frac{l}{S}\) пропорционально длине \(l\) проводника, то можем заметить, что сопротивление \(R_{i+1}\) каждого следующего вложенного квадрата меньше сопротивления \(R_i\) предыдущего в \(\sqrt{2}\) раз

\[R_{i+1} = \frac{R_i}{\sqrt{2}}.\tag{1}\]

Преобразуем цепь, разорвав ее в эквипотенциальных точках \(E\) и \(F\) (Рис.2), лежащих на оси симметрии \(BD\) фрактала. Это не изменит искомого сопротивления \(R_F\) фрактала, поскольку по «разорванным» малым перемычкам ток все равно не идет из-за отсутствия напряжения на них.

Однако теперь можем заметить, что цепь между точками \(G\) и \(H\) (см. рис. 2) также представляет собой бесконечный фрактал, начальный размер которого ровно в два раза меньше размера исходного фрактала.

Следовательно, в силу (1) (примененного дважды!), сопротивление \(R_{GH}\) цепи между указанными точками также в два раза меньше искомого сопротивления «большого» фрактала

\[R_{GH} = \frac{R_F}{2}.\tag{2}\]

С учетом (2) электрическую схему можно перечертить в виде, представленном на рис. 3.

Для дальнейшего преобразования схемы представим сопротивление \(R_F/2\) как два параллельно соединенных сопротивления \(R_F\), и вновь, в силу симметрии цепи, разорвем полученную схему в эквипотенциальных точках \(G\) и \(H\). В результате получим еще более упрощенный вариант цепи фрактала, представленный на рис. 4.

Дальнейший расчет сопротивления цепи достаточно стандартен: нужно только помнить, что соединительные «проволочки» на данной схеме имеют разные сопротивления, каждое из которых пропорционально соответствующей длине.

Так для расчета сопротивления \(R_{IJ}\) цепи между точками \(I\) и \(J\) используем правила расчета для параллельного сопротивления

\[\frac{1}{R_{IJ}} = \frac{1}{R} + \frac{\sqrt{2}}{R} + \frac{1}{R_F + \frac{R}{\sqrt{2}}},\tag{3}\]

где \(R_{AB}\) (сопротивление большой стороны фрактала) для удобства обозначено через \(R\).

Из (3) находим

\[R_{IJ} = \frac{R\left(\sqrt{2}R_F + R\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}R_F + R\right) + \sqrt{2}R}.\tag{4}\]

Соответственно, сопротивление \(R_{ABC}\) участка цепи найдем по правилам последовательного соединения

\[R_{ABC} = \frac{R\left(\sqrt{2}R_F + R\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}R_F + R\right) + \sqrt{2}R} + R.\tag{5}\]

Поскольку верхняя и нижняя части полученной цепи симметричны, то окончательное выражение для нахождения сопротивления фрактала принимает вид

\[R_F = \frac{R_{ABC}}{2} = \frac{\frac{R\left(\sqrt{2}R_F + R\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}R_F + R\right) + \sqrt{2}R} + R}{2}.\tag{6}\]

Относительно \(R_F\) (6) представляет собой квадратное уравнение

\[2\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}\right)R_F^2 + 2\sqrt{2}RR_F - \left(1+2\sqrt{2}\right)R^2 = 0,\]

решения которого находим сравнительно легко (у нас получилось всего лишь с третьей попытки!).

Отрицательный корень (\(R_F = -0{,}984\,R\)) отбрасываем сразу, как не имеющий физического смысла. Окончательно

\[R_F = \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1+2\sqrt{2}\right)} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}\right)}R = 0{,}569\,R.\tag{7}\]

Расчет по (7) дает численное значение сопротивления цепи бесконечного квадратного фрактала

\[R_{AC} = R_F = 0{,}85\,\text{Ом}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.