Линейная жидкость (теоретический тур)

Давление на глубине \(x\) в широком сосуде равно весу столба выше, т.е. площади под графиком плотности от \(0\) до \(x\). После открытия крана давления в нижних точках должны сравняться, а объём жидкости сохраняется.

Найдём зависимость плотности жидкости в правом сосуде от координаты \(x\). Так как плотность изменяется линейно: \(\rho(x) = ax + b\). Коэффициенты \(a\) и \(b\) можно найти из уравнений: \(\rho(0) = \rho/4 = b\) и \(\rho(4h) = \rho = b + 4ah\). Получаем, что \(b = \rho/4\) и \(a = 3\rho/(16h)\).

Рассмотрим слой жидкости толщиной \(\Delta x\) на глубине \(x\). Из условия равновесия для этого слоя: \(\Delta p = \rho(x) g\,\Delta x\). Величина \(\Delta p\) пропорциональна площади заштрихованной части. А разность гидростатических давлений \(p(x) - p(0)\) пропорциональна площади под графиком на участке от \(0\) до \(x\). Полагая, что \(p(0) = 0\), получаем выражение для зависимости давления от глубины: \[p(x) = \dfrac{gx}{2}\bigl(\rho(0) + \rho(x)\bigr) = \dfrac{\rho g x}{8}\left(2 + \dfrac{3x}{4h}\right).\] Давление в точках \(A\) и \(B\) равны: \(p_A = 3\rho g h\) и \(p_B = 2{,}5\rho g h\).

Так как \(p_A > p_B\), жидкость будет перетекать из левого колена в правое. Пусть из левого колена вытекает столб жидкости высотой \(H\). Из-за несжимаемости жидкости: \(SH = 2SH_1\). Значит, в правый сосуд перетёк слой жидкости толщиной \(H_1 = H/2\). Следовательно, слой жидкости такой же толщины должен вытечь сверху. В условии равновесия давления в нижних точках равны. Найдём давление в нижней точке в правом колене \(p'_B = \rho g H/2 + p_C\). Точка \(C\) расположена в правом колене на разделе сред с постоянной и переменной плотностями.

Давление \(p_C\) находим аналогично: \[p_C = \dfrac{g}{2}\left(4h - \dfrac{H}{2}\right)\left(\rho\left(\dfrac{H}{2}\right) + \rho(4h)\right).\] Получаем: \[p'_B = \rho g h\left(\dfrac{5}{2} + \dfrac{3H}{8h} - \dfrac{3}{128}\left(\dfrac{H}{h}\right)^2\right).\] Приравнивая давления слева и справа от крана, получаем: \[\dfrac{3}{64}\left(\dfrac{H}{h}\right)^2 - \dfrac{11}{4}\,\dfrac{H}{h} + 1 = 0.\] Решение уравнения даёт: \(H/h = 58{,}3\) — побочное решение и \(H/h = 0{,}37\). Уровень жидкости сместился на \(H = 0{,}37h\).