Хорошо в деревне летом… (теоретический тур)

Время переноса одной порции складывается из времени движения с грузом в сарай и времени возвращения налегке в овин. Минимум по массе порции ищите, выделив полный квадрат.

Время движения Васи без сена: \(t_0 = \dfrac{L}{v} = \dfrac{Lm_0^2}{\beta}\), следовательно, \(\beta = \dfrac{Lm_0^2}{t_0} = 6250\) м\(\cdot\)кг\(^2\)/с.

Пусть мальчик переносит сено порциями массой \(\mu\) за каждый заход. Тогда время переноса одной порции сена из овина в сарай равно: \(t_{11} = \dfrac{L(m_0 + \mu)^2}{\beta}\). Затем Васе нужно вернуться обратно в овин. Это займёт у него время: \(t_{12} = \dfrac{Lm_0^2}{\beta}\). Откуда время, требуемое для переноса одной порции, равно: \[t_1 = \dfrac{L(2m_0^2 + 2m_0\mu + \mu^2)}{\beta}.\] Васе нужно совершить \(N = M/\mu\) заходов. Поэтому время переноса всего сена равно: \[T = Nt_1 = \dfrac{LM}{\beta}\left(\dfrac{2m_0^2}{\mu} + 2m_0 + \mu\right).\] Чтобы найти минимум этого времени, выделим в скобках полный квадрат: \[T = \dfrac{LM}{\beta}\left(\left(\dfrac{\sqrt{2}\,m_0}{\sqrt{\mu}} - \sqrt{\mu}\right)^2 + 2m_0(\sqrt{2} + 1)\right).\] Следовательно, при \(\mu = \sqrt{2}\,m_0\) время минимально. Значит, ему нужно сходить \(N = M/\mu = M/(\sqrt{2}\,m_0) = 8{,}49\) раз. Так как число заходов целое, проверим, какое время займут 8 и 9 заходов с порциями \(\mu_1 = 75\) кг и \(\mu_2 = 66{,}7\) кг соответственно. Эти времена оказываются одинаковыми и равными \(T_\text{min} = 2320\) с \(= 38\) мин \(40\) с. Для реализации минимального времени возможны две стратегии.