Голографическая линза

Прозрачные зоны выбираются так, чтобы разность хода между соседними зонами была \(\lambda/2\); у импульса есть спектральная ширина по соотношению неопределённостей, а разные длины волн проходят толщу стекла с разными групповыми скоростями.

i) \(r_{2m+1}=\sqrt{\left(m+\tfrac12\right)^2\lambda^2+(2m+1)\lambda f}\);  ii) \(x\approx2{,}4\) см;  iii) \(\tau_{\text{гол}}\approx7{,}9\times10^{-11}\) с (см. решение);  iv) \(\Delta\lambda\approx4{,}4\times10^{-9}\) м;  v) \(\tau_{\text{ст}}\approx5{,}1\times10^{-14}\) с.

i) Пусть \(N=0,1,\dots\) — номера зон (и непрозрачных, и прозрачных). Оптическая разность хода между двумя соседними зонами должна быть \(\lambda/2\) (требуется противофазность). Разность хода между \(N\)-й зоной и нулевой, в свою очередь, равна \(\Delta_N=\sqrt{r_N^2+f^2}-f\). Поэтому \[\frac{N\lambda}{2}=\sqrt{r_N^2+f^2}-f\qquad\text{и}\qquad r_N=\sqrt{\left(\frac{N\lambda}{2}\right)^2+N\lambda f}.\] Прозрачны только зоны с нечётными номерами, поэтому нам нужен радиус \(r_{2m+1}=\sqrt{\left(m+\tfrac12\right)^2\lambda^2+(2m+1)\lambda f}\).

ii) Идеально фокусирующая стеклянная линза такова, что все возможные лучи, идущие в фокус, имеют одинаковую оптическую длину пути. Оптическая длина пути в преломляющей среде в \(n\) раз больше соответствующей геометрической длины (фазовая скорость уменьшается в \(n\) раз). Обозначим искомую толщину через \(x\). Приравняем оптические длины путей луча, идущего через край линзы, и луча, идущего через её центр: \[\sqrt{\left(\frac d2\right)^2+f^2}=f-x+nx\ \Longrightarrow\ x=\frac1{n-1}\left[\sqrt{\left(\frac d2\right)^2+f^2}-f\right]\approx2{,}4\text{ см}.\]

iii) Во-первых, заметим, что заданный импульс достаточно короткий, чтобы вся линза никогда не освещала фокус одновременно: импульс содержит всего \(\dfrac{\tau c}{\lambda}=18\) периодов, но \(r_{2\cdot18}\approx1{,}3\) мм \(\ll5\) см. Это значит, что в каждый момент времени фокус освещает лишь тонкая полоска линзы. Интенсивность, когда наблюдается \(N\)-й период, пропорциональна площади \(N\)-й зоны. Она равна \(A_N=\pi\left(r_{N+1}^2-r_N^2\right)=\pi\left(\dfrac{N\lambda^2}{2}+\dfrac{\lambda^2}{4}+\lambda f\right)\).

Так как \(N\) пропорционально времени (период волны постоянен), интенсивность тоже будет расти линейно со временем. Линейный участок начинается при \(N=1\) со скачка и заканчивается при \(N_{\max}\dfrac\lambda2=\sqrt{\left(\dfrac d2\right)^2+f^2}-f\) скачком обратно в темноту, когда приходит свет от края линзы. Полная длительность освещения (приблизительно) \(\tau_{\text{гол}}=N_{\max}\dfrac\lambda c=\dfrac2c\left[\sqrt{\left(\dfrac d2\right)^2+f^2}-f\right]\approx7{,}9\times10^{-11}\) с.

iv) Импульс локализован в области пространства шириной \(\Delta x=c\tau\). Из-за принципа неопределённости Гейзенберга импульс состоит из фотонов с разбросом импульсов (если считать, что свойства отдельных фотонов классические) или, с другой точки зрения, является одним фотоном с несколько неопределённым импульсом; так или иначе, характерная ширина в пространстве импульсов \(\Delta p=\dfrac{\hbar}{\Delta x}=\dfrac{\hbar}{c\tau}\). Длина волны фотона с известным импульсом \(p\) равна \(\lambda=\dfrac hp\) (это соотношение де Бройля: энергия фотона равна и \(pc\), и \(h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}\)). Таким образом, \[\Delta\lambda\approx\left|\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}\frac hp\right|\Delta p=\frac{h\,\Delta p}{p^2}=\frac{h\,\hbar/(c\tau)}{(h/\lambda)^2}=\frac{\lambda^2}{2\pi c\tau}\approx4{,}4\times10^{-9}\text{ м}.\]

v) Разброс времён прихода волн с разными длинами волн наибольший у волн, которые дольше всего находятся внутри линзы. Поэтому достаточно рассмотреть только волны, проходящие через самую толстую часть линзы — её центр. Разброс времён прихода \(\Delta t=\Delta\dfrac{x}{v_g}=\dfrac{x\,\Delta v_g}{v_g^2}=\dfrac{x\,\Delta\lambda}{v_g^2}\dfrac{\mathrm dv_g}{\mathrm d\lambda}\). Чтобы найти саму групповую скорость \(v_g\), можно воспользоваться подсказкой (данной во время олимпиады), что в этом вопросе групповую скорость и фазовую можно считать равными (на деле это было бы необычным совпадением): \(v_g=v_p\), а фазовая скорость \(v_p=c/n\). Поэтому \(\Delta t=\dfrac{x\,\Delta\lambda}{v_g^2}\times0{,}02\dfrac{v_g}{\lambda}=0{,}02\,\dfrac{x\,n\,\Delta\lambda}{c\lambda}\approx2{,}1\times10^{-14}\) с. Полная наблюдаемая длительность импульса за стеклянной линзой \(\tau_{\text{ст}}=\tau+\Delta t=5{,}1\times10^{-14}\) с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.