Электрическое поле

Электрическое поле в системе наблюдателя направлено так же, как сила Лоренца на него в лабораторной системе, то есть его линии — окружности вокруг оси \(z\); примените закон Фарадея к такой окружности.

i) \(B(z)=\dfrac{\mu_0IR^2}{2(z^2+R^2)^{3/2}}\), вдоль оси \(z\);  ii) \(E(z,r)=\dfrac{3\mu_0IrR^2vz}{4(z^2+R^2)^{5/2}}\), силовые линии — окружности вокруг оси \(z\).

i) По закону Био — Савара каждый кусочек кольца длиной и направлением \(\mathrm d\vec l\) создаёт магнитное поле \(\mathrm d\vec B=\dfrac{\mu_0I\,\mathrm d\vec l\times\hat a}{4\pi a^2}\), где \(\vec a\) — вектор смещения от кусочка до точки, в которой мы вычисляем \(\vec B\), а \(\hat a=\vec a/a\). По симметрии магнитное поле на оси \(z\) складывается ровно вдоль оси \(z\), потому что перпендикулярные составляющие взаимно уничтожаются. \(\mathrm dB_z\) пропорционально \(\mathrm dl\), а \(\mathrm d\vec l\perp\hat a\). Вектор \(\mathrm d\vec l\times\hat a\) образует с горизонталью угол \(\alpha=\operatorname{arctg}\dfrac Rz\). Поэтому можно сложить вклады и записать \(B(z)=\dfrac{\mu_0I\cdot2\pi R\sin\alpha}{4\pi(z^2+R^2)}=\dfrac{\mu_0IR^2}{2(z^2+R^2)^{3/2}}\). Поле направлено вдоль оси \(z\).

ii) Электрическое поле, измеряемое заряженным наблюдателем, должно быть направлено так же, как сила Лоренца, действующая на наблюдателя в лабораторной системе отсчёта. Поэтому силовые линии электрического поля — окружности вокруг оси \(z\). Теперь можно применить закон индукции Фарадея к такой окружности по мере её приближения к кольцу: полная ЭДС \(E(z,r)\times2\pi r=\dot\Phi=-\dfrac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dz}v\approx-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}B(z)\times\pi r^2\times v\ \Longrightarrow\ E(z,r)=-\dfrac{rv}{2}B'(z)=\dfrac{3\mu_0IrR^2vz}{4(z^2+R^2)^{5/2}}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.