Около тонкой гладкой вертикальной стенки лежит цепочка с очень мелкими звеньями длиной \(l\) и массой \(m\). Высота стенки меньше длины цепочки и равна \(5l/6\). Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы втащить цепочку на стенку так, как показано на рисунке?

Цепочка на стенку — Росатом 2020/21, 10 кл., задача 4

Цепочка на стенку
Росатом 2020/21, 10 кл.
4/10
Около тонкой гладкой вертикальной стенки лежит цепочка с очень мелкими звеньями длиной \(l\) и массой \(m\). Высота стенки меньше длины цепочки и равна \(5l/6\). Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы втащить цепочку на стенку так, как показано на рисунке?

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Сила, которую нужно прикладывать к концу, компенсирует вес уже поднятых звеньев. Эта сила меняется в процессе подъёма, поэтому удобно найти работу как площадь под графиком зависимости силы от перемещения конца цепочки.
Ответ
\(A = \dfrac{17}{36}\,mgl\).
Решение
Поскольку цепочку поднимают медленно, сила, которой необходимо действовать на её конец, должна компенсировать силу тяжести, действующую на поднятые звенья. Поэтому эта сила меняется в процессе движения, и для вычисления работы будем использовать графический метод.

Построим график зависимости внешней силы \(F\) от величины перемещения конца цепочки \(x\). График начинается из нуля (когда цепочка целиком лежит на полу, её можно начать поднимать, фактически, нулевой силой). Когда перемещение конца равно высоте стенки, масса поднятой части цепочки равна \(5m/6\), сила равна \(5mg/6\). При дальнейшем перемещении конца цепочки за стенку сила будет уменьшаться, поскольку перетянутый за стенку кусочек цепочки будет компенсировать определённую долю силы тяжести, действующей на другую часть цепочки. Очевидно, в конечный момент при перемещении конца цепочки на \(l\) внешняя сила равна \(4mg/6\) (см. рисунок).

Вычисляя площадь под графиком, получим \[A = \frac{17}{36}\,mgl.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Цепочка на стенку

Цепочка на стенку

Похожие задачи