Росатом, 2020/21, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Сначала найдите предельную силу натяжения нити из первого случая, затем используйте второй закон Ньютона для второго случая.

Ответ

\(F = 2F_1 = 400\,\text{Н}\); сила не зависит от трения.

Решение

Поскольку \(F_1 > 3\mu mg\), разрыв нити произойдёт в процессе движения тел. Поэтому второй закон Ньютона для тел при приложении силы \(F\) к телу массой \(m\) даёт \[ma = F - T - \mu mg, \qquad 2ma = T - 2\mu mg,\] где \(a\) — ускорение тел, \(T\) — сила натяжения нити. Отсюда находим \[T = \frac{2F}{3}.\] Поскольку нить рвётся, когда сила, действующая на тело массой \(m\), равна \(F_1\), то максимальная сила натяжения, которую выдерживает нить, равна \[T_0 = \frac{2F_1}{3}.\] Если сила приложена ко второму телу, то \[ma = T - \mu mg, \qquad 2ma = F - T - 2\mu mg.\] Отсюда \[T = \frac{F}{3}.\] Нить порвётся, если эта сила равна \(T_0\). Поэтому значение силы, действующей на тело массой \(2m\), при котором порвётся нить, равно \[F = 2F_1 = 400\,\text{Н}.\] Эта сила не зависит от трения.

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, связанную с Жигулями. Удобно записать время встреч через расстояния и относительные скорости.

Ответ

\(x = 2S\).

Решение

Из условия понятно, что для скоростей выполнены неравенства \(v_{\text{Ж}} < v_{\text{М}} < v_{\text{Ф}}\). В системе отсчёта, связанной с Жигулями, Феррари и Мерседес едут в ту же сторону со скоростями \(v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}\) и \(v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}}\) соответственно, причём \(v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}} < v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}\). В этой системе отсчёта для момента, когда Феррари догонит Жигули, имеем \[\frac{S}{v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}} = \frac{d}{v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}}}, \qquad d = \frac{2S}{3}.\] Отсюда \[\frac{S}{d} = \frac{v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}}{v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}}}.\] Теперь можно найти расстояние от Жигулей до точки, в которой Феррари догонит Мерседес: \[x = \frac{S\,(v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}})}{(v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}) - (v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}})} = \frac{S}{\dfrac{v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}}{v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}}} - 1},\] которое от системы отсчёта не зависит. Подставляя в эту формулу отношение скоростей, находим \[x = \frac{Sd}{S - d}.\] Подставляя \(d = 2S/3\), получаем окончательно \(x = 2S\).

Подсказка

Вспомните, как связаны количества теплоты, отдаваемые нагревателю и забираемые у холодильника, для цикла Карно, и запишите тепловой баланс фазовых переходов.

Ответ

\(m_1 \approx 4{,}95\,\text{кг}\).

Решение

Тепловой насос, работающий по любому обратному циклу, забирает некоторое количество теплоты \(Q_x\) у холодного тела (холодильника) и передаёт горячему телу количество теплоты \(Q_н\), совершая работу \(A\) (которая тоже передаётся нагревателю): \[Q_н = A + Q_x.\] КПД прямого цикла связывает переданное нагревателю количество теплоты и работу, \(\eta = A/Q_н\), откуда \[Q_н = \frac{Q_x}{1 - \eta}.\] Используя формулу для КПД цикла Карно, получаем \[Q_н = \frac{T_н Q_x}{T_x},\] где \(T_н\) и \(T_x\) — абсолютные температуры нагревателя и холодильника данного цикла Карно.

Для испарения в нагревателе \(m = 1\) кг воды необходимо количество теплоты \(Q_н = rm\). Для этого холодильник должен отдать количество теплоты \[Q_x = \frac{T_x\,rm}{T_н}.\] А для этого должно замёрзнуть \[m_1 = \frac{Q_x}{\lambda} = \frac{T_x\,rm}{T_н\,\lambda} \approx 4{,}95\,\text{кг}\] воды в холодильнике.

Подсказка

Сила, которую нужно прикладывать к концу, компенсирует вес уже поднятых звеньев. Эта сила меняется в процессе подъёма, поэтому удобно найти работу как площадь под графиком зависимости силы от перемещения конца цепочки.

Ответ

\(A = \dfrac{17}{36}\,mgl\).

Решение

Поскольку цепочку поднимают медленно, сила, которой необходимо действовать на её конец, должна компенсировать силу тяжести, действующую на поднятые звенья. Поэтому эта сила меняется в процессе движения, и для вычисления работы будем использовать графический метод.

Построим график зависимости внешней силы \(F\) от величины перемещения конца цепочки \(x\). График начинается из нуля (когда цепочка целиком лежит на полу, её можно начать поднимать, фактически, нулевой силой). Когда перемещение конца равно высоте стенки, масса поднятой части цепочки равна \(5m/6\), сила равна \(5mg/6\). При дальнейшем перемещении конца цепочки за стенку сила будет уменьшаться, поскольку перетянутый за стенку кусочек цепочки будет компенсировать определённую долю силы тяжести, действующей на другую часть цепочки. Очевидно, в конечный момент при перемещении конца цепочки на \(l\) внешняя сила равна \(4mg/6\) (см. рисунок).

Вычисляя площадь под графиком, получим \[A = \frac{17}{36}\,mgl.\]

Подсказка

Учтите, что диэлектрик поляризуется: на его поверхностях появляются индуцированные заряды. Найдите их величину из условия, что поле в диэлектрике уменьшилось в \(\varepsilon\) раз, а затем найдите результирующую силу, действующую на внешнюю поверхность диэлектрика.

Ответ

Уровень жидкости над пластиной поднимается на \(\Delta h = \dfrac{(\varepsilon^2 - 1)\,Q^2}{8\,S^2\,\varepsilon^2\,\varepsilon_0\,\rho\,g}\).

Решение

Поскольку жидкость — диэлектрик с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\), то в пренебрежении краевыми эффектами напряжённость электрического поля в жидкости уменьшится в \(\varepsilon\) раз по сравнению с полем в вакууме, и поле в диэлектрике будет равно \[E = \frac{Q}{2S\varepsilon\varepsilon_0}.\] С другой стороны, уменьшение поля связано с поляризацией диэлектрика, т.е. на поверхности диэлектрика будут индуцированы заряды, которые создают собственное поле, складывающееся с полем пластины и дающее уменьшение поля в диэлектрике. Эти заряды (их сумма равна нулю, поскольку диэлектрик не заряжен) будут индуцированы на поверхности диэлектрика, касающейся пластины, и на внешней поверхности диэлектрика (см. рисунок). Пусть эти заряды равны \(q\) и \(-q\) (величину \(q\) считаем положительной).

Тогда поле, созданное этими зарядами внутри диэлектрика, \(E_1 = \dfrac{q}{S\varepsilon_0}\), вместе с полем зарядов пластины \(E_0 = \dfrac{Q}{2S\varepsilon_0}\) должно дать поле (1), т.е. \[\frac{Q}{2S\varepsilon\varepsilon_0} = E_0 - E_1 = \frac{Q}{2S\varepsilon_0} - \frac{q}{S\varepsilon_0}.\] Отсюда находим заряды, индуцированные в диэлектрике: \[q = \frac{(\varepsilon - 1)\,Q}{2\varepsilon}.\] В результате на заряды поверхности диэлектрика будет действовать сила притяжения к заряду \(-q\) и отталкивания от заряда \(Q\), которое больше. Это значит, что на внешнюю поверхность диэлектрика будет действовать сила \[F = \frac{q(Q - q)}{2S\varepsilon_0} = \frac{qQ}{2S\varepsilon\varepsilon_0} = \frac{(\varepsilon^2 - 1)\,Q^2}{8S\varepsilon^2\varepsilon_0},\] направленная вертикально вверх, и поверхность диэлектрика поднимется. Величину подъёма \(\Delta h\) найдём из условия, что сила \(F\) создаёт избыточное гидростатическое давление: \[\rho g\,\Delta h = \frac{F}{S} \quad\Rightarrow\quad \Delta h = \frac{(\varepsilon^2 - 1)\,Q^2}{8\,S^2\,\varepsilon^2\,\varepsilon_0\,\rho\,g}.\]