Феррари, Мерседес и Жигули

Перейдите в систему отсчёта, связанную с Жигулями. Удобно записать время встреч через расстояния и относительные скорости.

Из условия понятно, что для скоростей выполнены неравенства \(v_{\text{Ж}} < v_{\text{М}} < v_{\text{Ф}}\). В системе отсчёта, связанной с Жигулями, Феррари и Мерседес едут в ту же сторону со скоростями \(v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}\) и \(v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}}\) соответственно, причём \(v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}} < v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}\). В этой системе отсчёта для момента, когда Феррари догонит Жигули, имеем \[\frac{S}{v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}} = \frac{d}{v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}}}, \qquad d = \frac{2S}{3}.\] Отсюда \[\frac{S}{d} = \frac{v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}}{v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}}}.\] Теперь можно найти расстояние от Жигулей до точки, в которой Феррари догонит Мерседес: \[x = \frac{S\,(v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}})}{(v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}) - (v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}})} = \frac{S}{\dfrac{v_{\text{Ф}} - v_{\text{Ж}}}{v_{\text{М}} - v_{\text{Ж}}} - 1},\] которое от системы отсчёта не зависит. Подставляя в эту формулу отношение скоростей, находим \[x = \frac{Sd}{S - d}.\] Подставляя \(d = 2S/3\), получаем окончательно \(x = 2S\).