Колечко на спице Галилея

Выразите длину спицы через расстояние \(x=MO\) по теореме косинусов, ускорение колечка на спице через угол наклона, затем найдите минимум времени по \(x\).

Пусть длина отрезка MO равна \(x\). Длину отрезка MN находим по теореме косинусов \[MN=\sqrt{l^2+x^2-2lx\cos\alpha}.\] А угол MNO (обозначим его \(\beta\)) — по теореме синусов \[\frac{x}{\sin\beta}=\frac{\sqrt{l^2+x^2-2lx\cos\alpha}}{\sin\alpha}\quad\Rightarrow\quad \sin\beta=\frac{x\sin\alpha}{\sqrt{l^2+x^2-2lx\cos\alpha}}.\] Поскольку ускорение колечка при его движении по спице MN равно \(g\sin\beta\), то время его спуска можно найти из соотношения \[\sqrt{l^2+x^2-2lx\cos\alpha}=\frac{g\sin\beta\,t^2}{2}.\] Используя далее соотношение для \(\sin\beta\), получим \[t^2=\frac{2\left(l^2+x^2-2lx\cos\alpha\right)}{gx\sin\alpha}.\] Найдем \(x\), отвечающее минимуму этой функции. Дифференцируя и приравнивая производную к нулю, получим \[\frac{2x-2l\cos\alpha}{gx\sin\alpha}-\frac{l^2+x^2-2lx\cos\alpha}{gx^2\sin\alpha} =\frac{x^2-l^2}{gx^2\sin\alpha}=0.\] Откуда получаем \[MO=l.\]