Нить наматывается на цилиндр

Скорость тела постоянна по модулю, так как сила натяжения перпендикулярна скорости. Найдите угол поворота нити как функцию времени.

Установим зависимость угла поворота нити от времени. Во-первых, заметим, что нить в процессе движения тела всегда перпендикулярна скорости тела (нить не «сминается» и не растягивается). Поэтому сила натяжения не совершает над телом работу, и, следовательно, тело движется с постоянной скоростью. Угловая же скорость тела изменяется, поскольку его движение в течение каждого малого интервала времени есть вращение вокруг той точки, где нить отходит от цилиндра, а длина нити изменяется.

Пусть к некоторому моменту времени \(t\) нить повернулась на угол \(\alpha\) по сравнению с первоначальным положением. Установим связь между \(t\) и \(\alpha\). Поскольку к этому моменту на цилиндр намоталась нить длиной \(\alpha R\), то для длины нити справедливо соотношение \[l=l_0-\alpha R. \qquad (1)\] Из формулы (1) следует, что угловая скорость нити в этот момент будет равна \(\omega=v/(l_0-\alpha R)\). Поэтому за бесконечно малый интервал времени \(\Delta t\) около момента времени \(t\) нить повернется на бесконечно малый угол \[\Delta\alpha=\omega\,\Delta t=\frac{v\,\Delta t}{l_0-\alpha R}. \qquad (2)\] Из формулы (2) можно найти производную функции \(t(\alpha)\): \[t'(\alpha)=\frac{\Delta t}{\Delta\alpha}=\frac{l_0}{v}-\frac{R}{v}\alpha. \qquad (3)\] Из формулы (3) следует, что производная функции \(t(\alpha)\) зависит от своего аргумента \(\alpha\) так же, как скорость равноускоренно движущегося тела зависит от времени \[x'(t)=v_0+at. \qquad (4)\] Поэтому зависимость \(t(\alpha)\) — такая же, как и зависимость координаты равноускоренно движущегося тела от времени \[x(t)=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}. \qquad (5)\] Причем, как это следует из сравнения (3) и (4), в качестве \(v_0\) и \(a\) в зависимости \(t(\alpha)\) нужно использовать величины \(l_0/v\) и \(-R/v\): \[t(\alpha)=t_0+\frac{l_0}{v}\alpha-\frac{R}{v}\frac{\alpha^2}{2}. \qquad (6)\] Величина \(t_0\) в выражении (5) имеет смысл «начального» значения времени, т.е. времени, отвечающего повороту на нулевой угол. Поэтому эту величину нужно положить равной нулю. В результате имеем окончательно \[t(\alpha)=\frac{l_0}{v}\alpha-\frac{R}{v}\frac{\alpha^2}{2}. \qquad (7)\] Из зависимости (7) легко найти время \(\tau\), необходимое для полной намотки одной пятой части нити на цилиндр. Когда такая длина намотается на цилиндр, нить повернется на угол \(\alpha=l_0/5R\). Поэтому для времени \(\tau\) имеем из (7): \[\tau=\frac{l_0}{v}\cdot\frac{l_0}{5R}-\frac{R}{v}\cdot\frac{l_0^2}{50R^2}=\frac{9\,l_0^2}{50\,vR}.\]