Три пружины и подвижный блок

Какие удлинения у пружин, если натяжение нити одинаково во всех сечениях? Сколько суммарно растягиваются пружины, когда блок смещается на \(x\)?

Пусть за малый интервал времени \(\Delta t\) блок переместился вниз на \(\Delta x = v\,\Delta t\). Тогда пружины за этот интервал в сумме растянутся на \(2\Delta x\). С другой стороны, сила натяжения нити в каждом ее сечении одинакова, поэтому пружины растягиваются одинаковой силой, и их удлинения обратно пропорциональны коэффициентам жесткости. Если пружина с коэффициентом \(k\) растянулась на \(\Delta x_1\), то пружина \(2k\) растянулась на \(\Delta x_1/2\), а пружина \(3k\) — на \(\Delta x_1/3\). Поэтому \[\Delta x_1 \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = 2\Delta x, \qquad \Delta x_1 = \frac{12}{11}\,\Delta x = \frac{12}{11}\,v\,\Delta t.\] Перемещение точки А за рассматриваемый интервал равно суммарному удлинению пружин \(k\) и \(2k\): \[\Delta x_A = \Delta x_1 + \frac{\Delta x_1}{2} = \frac{18}{11}\,v\,\Delta t.\] Поэтому скорость точки А \[v_A = \frac{18}{11}\,v,\] она постоянна в процессе движения блока.

Блок движется равномерно, поэтому сила, которую нужно приложить к нему, равна удвоенной силе натяжения нити, а сила натяжения равна силе упругости пружин. За время \(t\) блок переместился на \(vt\), а пружина с коэффициентом \(k\) растянулась на \(\dfrac{12}{11}\,vt\). Сила упругости этой пружины \[F_{упр} = \frac{12}{11}\,k v t.\] Следовательно, сила, с которой нужно действовать на блок, \[F = 2F_{упр} = \frac{24}{11}\,k v t.\]