Брусок на полусфере и трение стола

Найдите силу нормальной реакции и силу давления бруска на полусферу как функции угла, затем горизонтальную составляющую этой силы, которую уравновешивает трение покоя стола.

Пусть брусок прошёл по поверхности полусферы дугу, которой соответствует центральный угол \(\alpha\). Второй закон Ньютона, записанный в проекции на направление центростремительного ускорения, даёт: \[\frac{mV^2}{R} = N_1 - mg\sin\alpha,\] где \(V\) — скорость бруска, \(R\) — радиус полусферы, \(N_1\) — сила нормальной реакции, действующая на брусок со стороны полусферы. Скорость бруска найдём из закона сохранения энергии: \[V^2 = 2gR\sin\alpha.\] Сила \(N_1\) равна: \[N_1 = mg\sin\alpha + \frac{m\,2gR\sin\alpha}{R} = 3mg\sin\alpha.\] По третьему закону Ньютона сила \(N_1\) равна силе давления бруска на полусферу. Горизонтальная составляющая силы давления компенсируется силой трения покоя \(F\), действующей на полусферу со стороны стола: \[F = N_1\cos\alpha = 3mg\sin\alpha\cos\alpha = \frac{3mg\sin 2\alpha}{2}.\] Вертикальная составляющая силы давления и сила тяжести \(Mg\) определяют силу нормальной реакции \(N_2\) со стороны стола: \[N_2 = Mg + N_1\sin\alpha = Mg + 3mg\sin^2\alpha.\] В силу неравенства \(M \gg m\) вторым слагаемым можно пренебречь, тогда \(N_2 = Mg\). Сила трения покоя удовлетворяет неравенству \(F \le \mu N_2\), откуда \[\mu \ge \frac{3m\sin 2\alpha}{2M}.\] Чтобы неравенство выполнялось при любом значении угла \(\alpha\), достаточно потребовать, чтобы оно выполнялось при \(\sin 2\alpha = 1\). Тогда минимальное значение коэффициента трения равно: \[\mu = \frac{3m}{2M} = 0{,}024.\]