Четыре резистора

Прямое измерение омметром слишком грубо для сравнения резисторов — соберите мост: два плеча из пар резисторов на максимальном напряжении источника, а вольтметром измеряйте разность потенциалов между серединами плеч, меняя резисторы местами.

1) \(\bar r=4{,}67\text{ кОм}\pm57\text{ Ом}\);  2) \(\langle r\rangle=4{,}674\text{ кОм}\pm55\text{ Ом}\);  3) \(r_A>r_C>r_D>r_B\);  4) \(r_A-\bar r=(4{,}02\pm0{,}21)\text{ Ом}\), \(r_B-\bar r=(-3{,}78\pm0{,}21)\text{ Ом}\), \(r_C-\bar r=(1{,}43\pm0{,}21)\text{ Ом}\), \(r_D-\bar r=(-1{,}68\pm0{,}21)\text{ Ом}\).

i) Если бы мы измеряли сопротивление каждого резистора по отдельности, показание было бы примерно \(4{,}67\text{ кОм}\), а погрешность — четыре последние цифры, \(40\text{ Ом}\), плюс \(1\%\) показания, \(47\text{ Ом}\), всего \(\delta r=87\text{ Ом}\). Это может быть систематическая ошибка, а значит, погрешности разных измерений могут быть сильно коррелированы, так что для суммы \(r_A+r_B+r_C+r_D\) нужно складывать погрешности (а не квадраты погрешностей, как для некоррелированных ошибок). Поэтому погрешность \(\bar r=(r_A+r_B+r_C+r_D)/4\) тоже была бы \(87\text{ Ом}\).

Однако мы можем измерить и последовательное соединение любого числа этих резисторов. Нетрудно видеть, что наименьшая погрешность получится, если соединить последовательно все четыре резистора, и тогда мы получим \(r_A+r_B+r_C+r_D=18{,}68\text{ кОм}\) с погрешностью \(187+40=227\text{ Ом}\); следовательно, \(\bar r=4{,}67\text{ кОм}\pm57\text{ Ом}\).

ii) Проблема с данными резисторами в том, что омметр не может работать в более точном диапазоне \(4\text{ кОм}\). Однако, если соединить два резистора параллельно, мы измерим непосредственно их среднее гармоническое, и омметр будет работать в диапазоне \(4\text{ кОм}\). Заметим, что соединять больше двух резисторов не следует, так как это уменьшило бы показание без изменения диапазона и, следовательно, увеличило бы относительную погрешность. Итак, можно получить \(r_Ar_B/(r_A+r_B)=r_Cr_D/(r_C+r_D)=2{,}337\text{ кОм}\pm27{,}4\text{ Ом}\), откуда \(\langle r\rangle=4{,}674\text{ кОм}\pm55\text{ Ом}\).

iii) Точности прямых измерений недостаточно, чтобы различить, у каких резисторов сопротивление больше, а у каких меньше. Поэтому нужно собрать мостовую схему. Например, соединим минус источника напряжения с резистором A, соединим A с B, а B — с плюсом источника напряжения; то же самое сделаем с C и D и измерим напряжение между узлом \(P\) между A и B и узлом \(Q\) между C и D. Чтобы получить наивысшую точность, используем максимально возможное напряжение \(U=30\text{ В}\). Если подключить \(Q\) к минусу вольтметра, а \(P\) — к плюсу вольтметра, мы можем получить показание \(V_1=7{,}5\pm0{,}5\text{ мВ}\). Если поменять порядок резисторов A и B, показание станет отрицательным: \(V_1'=-17{,}5\pm0{,}5\text{ мВ}\): потенциал узла \(P\) стал меньше. В первом случае потенциал узла был \(Ur_A/(r_A+r_B)\), во втором — \(Ur_B/(r_A+r_B)\). Значит, делаем вывод \(r_A>r_B\). Повторяя эту процедуру с другими соединениями, найдём \(r_A>r_C>r_D>r_B\).

iv) С данными предыдущего пункта имеем \[\frac{r_A-r_B}{r_A+r_B}=\frac{V_1-V_1'}U.\] Аналогично \[\frac{r_A-r_C}{r_A+r_C}=\frac{V_2-V_2'}U\quad\text{при }V_2=7{,}5\pm0{,}5\text{ мВ},\ V_2'=-0{,}8\pm0{,}4\text{ мВ};\] а также \[\frac{r_A-r_D}{r_A+r_D}=\frac{V_3-V_3'}U\quad\text{при }V_3=17{,}5\pm0{,}5\text{ мВ},\ V_3'=-0{,}8\pm0{,}4\text{ мВ}.\] С очень хорошим приближением (пренебрежимо малая относительная погрешность) можно считать \(r_A+r_B=r_A+r_C=r_A+r_D=2\bar r\), так что по имеющимся данным получаем: \[\frac{r_A-r_B}{2\bar r}=(8{,}34\pm0{,}3)\cdot10^{-4},\quad\frac{r_A-r_C}{2\bar r}=(2{,}78\pm0{,}3)\cdot10^{-4},\quad\frac{r_A-r_D}{2\bar r}=(6{,}10\pm0{,}3)\cdot10^{-4}.\] Если сложить все эти равенства, получим \[2(r_A-\bar r)=\bar r\cdot(17{,}2\pm0{,}9)\cdot10^{-4}.\] При \(\bar r=4{,}67\text{ кОм}\) (относительная погрешность которого пренебрежимо мала) получаем \[r_A-\bar r=(4{,}02\pm0{,}21)\text{ Ом}.\] Подобным образом находим \[r_B-\bar r=(-3{,}78\pm0{,}21)\text{ Ом},\quad r_C-\bar r=(1{,}43\pm0{,}21)\text{ Ом},\quad r_D-\bar r=(-1{,}68\pm0{,}21)\text{ Ом}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.