Нить и маятник

В п. i сравните два маятника разной длины с одинаковыми периодами — длинный с малой амплитудой, короткий с большой. В п. ii подвесьте нить между двумя точками на одном уровне, повесив скобку известной массы посередине, и используйте равновесие сил.

1) \(A=\dfrac{\sqrt{l_0/l_1}-1}{\alpha^2}\), у авторов \(A\approx0{,}07\) (теоретическое \(\approx0{,}063\));  2) \(\dfrac Ml=\dfrac ml\left(\operatorname{tg}\alpha_1\operatorname{tg}\alpha_2-1\right)\), у авторов \(\approx0{,}12\) г на указанную длину.

i) Строим два маятника разной длины и отпускаем их с разных углов так, чтобы их периоды были одинаковыми. Для более длинного маятника выбираем достаточно малую амплитуду, чтобы можно было использовать формулу для малых углов, а для короткого маятника — большую амплитуду.

Измеряем длины маятников. Пусть \(l_0\) — длина более длинного маятника, а \(l_1\) — длина более короткого. Дополнительно транспортиром измеряем угловую амплитуду \(\varphi\) (в градусах) более короткого (колеблющегося с большей амплитудой) маятника. Из равенства периодов получаем \[\sqrt{l_0}=\sqrt{l_1}\,(1+A\alpha^2),\] откуда \[A=\frac{\sqrt{\dfrac{l_0}{l_1}}-1}{\alpha^2}=\frac{\sqrt{\dfrac{l_0}{l_1}}-1}{\left(\dfrac{\pi\varphi}{180^\circ}\right)^2}.\] Повторяем опыт с разными длинами и в конце находим среднее по результатам. При примерных значениях \(\varphi=55^\circ\), \(l_0=41{,}5\) см, \(l_1=36{,}5\) см получаем \(A\approx0{,}07\). Теоретическое истинное значение \(A\approx0{,}063\), но ожидаемое измеренное значение несколько больше, так как члены более высокого порядка теоретического разложения \((1+A\alpha^2+B\alpha^4+\dots)\) «объединяются» в значении \(A\). Поэтому в целом чем больше угол, использованный при измерении, тем больше значение \(A\), и ожидаемым считается значение в диапазоне \(A\in[0{,}06;\,0{,}08]\).

Отметим распространённую попытку решения: измерять число периодов, через которое два маятника одинаковой длины, но с разными начальными углами, снова синхронизируются (то есть получать сдвиг фаз). Однако погрешность этого метода очень велика, в значительной степени из-за того, что амплитуда при больших углах резко убывает вследствие диссипации энергии. Даже если получено значение \(A\approx0{,}07\), оно поэтому может не считаться «правильным». Однако если учесть уменьшение амплитуды, например усредняя угловые амплитуды за время измерения, можно получить более точный и верный результат.

Другая распространённая попытка — использовать второй маятник в качестве «часов» — даёт слишком низкое временно́е разрешение и потому не засчитывается.

ii)

Привяжем красную нить к двум точкам крепления на одном горизонтальном уровне и подвесим скобку известной массы за среднюю точку. Измеряем углы, которые нить образует с горизонтальной плоскостью, в средней точке и вблизи опор, усредняя последние для большей точности. Пусть \(\alpha_1\) — угол на уровне скобки, а \(\alpha_2\) — угол на уровне опоры. Пусть \(T_x\) — (неизвестная) горизонтальная составляющая натяжения нити. Вдоль нити между скобкой и опорой \(T_x\) постоянна, так как все действующие силы вертикальны.

Равновесие скобки даёт \(2T_x\operatorname{ctg}\alpha_1=mg\). Равновесие нити строго между скобкой и опорой даёт \(2T_x(\operatorname{tg}\alpha_2-\operatorname{ctg}\alpha_1)=Mg\), где \(M\) — масса нити. Вычисляем массу одного метра нити: \[\frac Ml=\frac ml\cdot\frac{\operatorname{tg}\alpha_2-\operatorname{ctg}\alpha_1}{\operatorname{ctg}\alpha_1}=\frac ml\left(\operatorname{tg}\alpha_1\operatorname{tg}\alpha_2-1\right),\] где \(l\) — измеренная длина нити. Повторяем опыт с разными длинами и в конце находим среднее по результатам. При примерных значениях \(\alpha_1=70^\circ\), \(\alpha_2=41^\circ\) находим \(M\approx0{,}12\) г (взвешиванием нити на весах найдено истинное значение \(0{,}135\) г).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.