Процесс в координатах плотность — температура

Выразите давление через плотность и температуру по уравнению Менделеева–Клапейрона и подставьте линейную зависимость \(\rho(T)\). Какую зависимость давления от температуры вы получили?

Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона \(pV = \dfrac{m}{M}RT\). Так как \(\rho = \dfrac{m}{V}\), выразим давление через плотность: \(p = \dfrac{\rho}{M}RT\).

Найдём уравнение рассматриваемого процесса: \(\rho = kT + b\). При \(T = 0\) следует \(\rho = \rho_0 = b\), где \(\rho_0\) — максимальная плотность. При \(T = T_0\) следует \(\rho = 0\), т. е. \(0 = kT_0 + b\). Получаем: \(k = -\dfrac{b}{T_0} = -\dfrac{\rho_0}{T_0}\).

Таким образом, уравнение процесса: \(\rho = \rho_0\left(1 - \dfrac{T}{T_0}\right) = \rho_0(1-\eta)\), где \(\eta = \dfrac{T}{T_0}\), следовательно, \(T = \eta T_0\).

Подставим данную зависимость \(\rho\) от \(\eta\) в уравнение Менделеева–Клапейрона: \[p = \frac{R}{M}\rho_0(1-\eta)T \quad\text{или}\quad p = \frac{\rho_0 T_0 R}{M}(\eta - \eta^2)\] — квадратное уравнение относительно \(\eta\). Обозначим это соотношение (1). Приравняем его к нулю и найдём вершину параболы (\(x = -\dfrac{b}{2a}\)): \[\eta_{\max} = -\frac{\rho_0 T_0 R}{M}:\left(-\frac{2\rho_0 T_0 R}{M}\right) = \frac{1}{2}.\] Подставим в (1). Получим \[p_{\max} = \frac{\rho_0 T_0 R}{4M}.\] Обозначим это соотношение (2). Разделим (1) на (2). Получим \[\frac{p}{p_{\max}} = 4(\eta - \eta^2).\] По условию задачи \(\dfrac{p}{p_{\max}} = 0{,}75\). Приравнивая, получим квадратное уравнение \(4(\eta - \eta^2) = 0{,}75\). Решая относительно \(\eta\), получим \(\eta_1 = \dfrac{1}{4}\) и \(\eta_2 = \dfrac{3}{4}\). Так как \(\eta = \dfrac{T}{T_0}\), получим ответ: \(T_1 = \dfrac{1}{4}T_0\) и \(T_2 = \dfrac{3}{4}T_0\).