Усилитель

Постройте нагрузочную прямую \(I = (\mathcal{E} - U)/R\) поверх вольт-амперной характеристики. Пока транзистор не заперт (\(U_\text{зи} > -U_0\)) и напряжение на нём не упало до нуля, через него течёт \(I_\text{нас}\), и выходное напряжение линейно зависит от \(U_\text{зи}\).

Если \(I\) — сила тока, текущего между стоком и истоком в цепи усилителя, то \[\mathcal{E} = IR + U \qquad\Rightarrow\qquad I = \frac{\mathcal{E} - U}{R}.\] Данная зависимость называется нагрузочной характеристикой, а её график, в данном случае, — нагрузочной прямой. Учитывая, что эта прямая проходит через точки с координатами \((0; \mathcal{E}/R)\) и \((\mathcal{E}; 0)\), построим её поверх вольт-амперной характеристики, приведённой в условии, и определим точку их пересечения.

В результате получим, что

1. при \(I_\text{нас} < \mathcal{E}/R\) (синяя линия на рис. 1), сила тока, текущего от стока к истоку, равна \(I = I_\text{нас}\), а \(U = \mathcal{E} - I_\text{нас}R > 0\);

2. при \(I_\text{нас} \ge \mathcal{E}/R\) (красная линия на рис. 1), напряжение между стоком и истоком \(U = 0\), а сила тока \(I = \mathcal{E}/R\).

Таким образом, напряжение на выходе усилителя не может быть отрицательным, то есть \(U \ge 0\).

Согласно графику зависимости \(I_\text{нас}(U_\text{зи})\), приведённому в условии, на участке \(U_\text{зи} > -U_0\) эта зависимость линейна: \[I_\text{нас} = \frac{I_0}{U_0}\left(U_\text{зи} + U_0\right),\] следовательно, линейной будет и зависимость \(U(U_\text{зи})\): \[U = \mathcal{E} - I_\text{нас}R = \mathcal{E} - I_0R - \frac{I_0R}{U_0}\cdot U_\text{зи}. \tag{1}\] В этом случае выходной сигнал будет отличаться от входного лишь сдвигом и масштабированием, то есть синусоида, например, останется синусоидой: \[U_\text{зи} = U_a\sin\left(\frac{\pi t}{\tau}\right) \qquad\Rightarrow\qquad U(t) = \mathcal{E} - I_0R - \frac{I_0R}{U_0}\cdot U_a\sin\left(\frac{\pi t}{\tau}\right).\] Данное правило нарушается в двух случаях:

1. \(U_\text{зи} \le -U_0\). Тогда \[I_\text{нас} = 0 \qquad\Rightarrow\qquad I = 0 \text{ при любом } U \qquad\Rightarrow\qquad U = \mathcal{E}.\]

2. \(U = 0\). В этом случае \[I_\text{нас} = \frac{I_0}{U_0}\left(U_\text{зи} + U_0\right) \ge \frac{\mathcal{E}}{R} \qquad\Rightarrow\qquad U_\text{зи} \ge U_0\cdot\frac{\mathcal{E} - I_0R}{I_0R}.\]

Подытожим: синусоидальный сигнал на входе преобразуется усилителем в синусоидальный сигнал на выходе, если для всех \(U_\text{зи}\), удовлетворяющих условию \(|U_\text{зи}| \le U_a\), выполняется неравенство \[-U_0 \le U_\text{зи} \le U_0\cdot\frac{\mathcal{E} - I_0R}{I_0R}.\]

а) Пусть \(R = 5\) Ом. Тогда, подставляя остальные данные, получим \[-1\text{ В} \le U_\text{зи} \le 3\text{ В}.\] Отсюда делаем вывод, что зависимость \(U(t)\) будет сохранять форму синусоиды, если \(U_a \le 1\) В.

б) Пусть теперь \(R = 16\) Ом. В этом случае неравенство для \(U_\text{зи}\) примет вид \[-1\text{ В} \le U_\text{зи} \le 0{,}25\text{ В},\] следовательно, синусоидальность сигнала сохраняется при \(U_a \le 0{,}25\) В.

Если синусоидальность выходного сигнала не нарушается, воспользуемся формулой (1), где величина \(\mathcal{E} - I_0R\) задаёт смещение средней линии синусоиды, а \(I_0R/U_0\) является масштабным множителем, имеющим смысл искомого коэффициента усиления \(K\). Вычислим его при \(R = 5\) Ом: \[K = \frac{I_0R}{U_0} = 2{,}5.\]

При \(R = 8\) Ом зависимость, заданная формулой (1), будет иметь вид \[U = 6\text{ В} - 4U_\text{зи} = 6\text{ В} - 8\text{ В}\cdot\sin\left(\frac{\pi t}{\tau}\right).\] График этой функции (красный пунктир на рис. 2) — сдвинутая вдоль вертикальной оси синусоида, минимальное и максимальное значения напряжения для которой равны \[U_{min} = 6\text{ В} - 4U_a = 6\text{ В} - 4\cdot2\text{ В} = -2\text{ В}, \qquad U_{max} = 6\text{ В} + 4U_a = 6\text{ В} + 4\cdot2\text{ В} = 14\text{ В}.\] Вблизи \(t = 0\) она является убывающей, в отличие от функции \(U_\text{зи}(t)\). В реальности же, полученную кривую необходимо «обрезать» сверху и снизу: сверху — по линии \(U = \mathcal{E} = 10\) В, снизу — по линии \(U = 0\). Получившаяся кривая (сплошная линия на рис. 2) и есть требуемый график.

Характерные точки и особенности графика:

1. График является «обрезанной», смещённой вверх по оси ординат синусоидой;

2. \(U(N\tau) = 6\) В, где \(N = 0, \pm1, \pm2, \ldots\);

3. Вблизи оси ординат (оси \(U\)) наклон кривой отрицательный;

4. Значения больше 10 В и меньше 0 В «обрезаны» горизонтальными линиями \(U = 10\) В и \(U = 0\) В;

5. Горизонтальные участки симметричны относительно положения пиков исходной синусоиды (то есть точек с абсциссами \(\pm\tau/2, \pm3\tau/2, \ldots\));

6. Верхние горизонтальные участки длиннее нижних.