Мощная задача

Переберите два случая: диод закрыт и диод открыт. В каждом выпишите правило узлов и сумму напряжений по контуру, не забывая, что ток через прибор не может превысить 1 А, — противоречие отсеет лишний случай.

Предположим, что диод закрыт. Тогда через источник \(P_1\) протекает электрический ток силой \(I_R\). Из алгебраической суммы токов для центрального узла получим связь между токами, протекающими через источники: \[I_3 = I_2 + I_R,\] где \(I_2\) и \(I_3\) — силы электрических токов, протекающие через приборы \(P_2\) и \(P_3\) соответственно. Сумма напряжений на приборах \(P_1\) и \(P_2\) равна напряжению \(U_0\):

\[U_0 = U_3 + U_2,\] где \(U_2\) и \(U_3\) — напряжения на клеммах приборов \(P_2\) и \(P_3\) соответственно. Через второй прибор протекает электрический ток силой \(I_2 > 1\) мА, иначе \(U_2 + U_3 > U_0\). Тогда: \[\frac{P_2}{I_2} + \frac{P_3}{I_2 + I_R} = U_0 \;\Rightarrow\; I_2 = 0{,}22\text{ А}.\] Получаем, что \(I_3 > 1\) А, что противоречит условию. Значит мощность третьего источника меньше номинальной и сила тока через него равна 1 А. Сила тока через второй источник \(I_2 = 0{,}2\) А. Ток через \(U_0\) течёт слева направо и равен \(I_0 = 0{,}2\) А. С учётом ориентаций источников и направлений протеканий электрического тока, напряжение на ветви, содержащей \(U_0\) и \(P_2\), равно напряжению на ветви, содержащей \(P_1\) и \(R\): \[U_0 - U_2 = -U_1 + U_R; \quad U_0 - \frac{P_2}{I_2} = -\frac{P_1}{I_1} + I_R R \;\Rightarrow\; R \approx 4{,}1\text{ Ом}.\]

Предположим, что диод открыт. Тогда через него протекает электрический ток, а напряжения на источниках \(P_1\) и \(P_2\) равны. Пусть через первый источник протекает некоторый электрический ток силой \(I_1\), тогда, так как номинальные мощности относятся как \(P_2/P_1 = 2\), а напряжения на клеммах источников равны, через второй источник постоянной мощности будет протекать электрический ток силой \(I_2 = 2I_1\). Алгебраическая сумма токов для узла, соединяющего все три источника, должна равняться нулю, из чего следует, что через прибор \(P_3\) протекает электрический ток силой, равной \(I_3 = 2I_1 + I_1 = 3I_1\). Тогда: \[\frac{P_3}{P_1} = \frac{U_3 I_3}{U_1 I_1} = 3; \quad U_3 = \frac{3U_1 I_1}{3I_1} = U_1.\] Получаем, что напряжения на клеммах всех трёх источников равны \(U_3 = U_2 = U_1 = U\), следовательно \(2U = U_0 \Rightarrow U = 0{,}5U_0 = 6\) В. Найдём, чему равняется сила электрического тока, протекающего через первый источник: \[I_1 = \frac{P_1}{U} = \frac16\text{ А}.\] При таком значении \(I_1\) все три прибора будут работать в нормальных режимах, обеспечивающих номинальную мощность. Алгебраическая сумма токов для нижнего узла должна равняться 0: \[I_1 = I_D + I_R,\] тогда \(I_D\) — сила тока через диод — получается отрицательной, что противоречит изначальному предположению. Получаем, что диод закрыт.

\(I_1 = 0{,}8\) А, \(I_2 = 0{,}2\) А, \(I_3 = 1\) А, \(I_0 = 0{,}2\) А, \(R \approx 4{,}1\) Ом.