Кружатся диски

Вращающийся диск — источник ЭДС индукции \(\omega BR^2/2\), а ток через диск создаёт момент сил Ампера. Сравнив закон Кирхгофа с законом сохранения энергии (или записав уравнение вращения), получите, что \(\omega\) пропорциональна заряду конденсатора. Тогда для \(\omega\) выходит уравнение гармонических колебаний.

Пусть диск вращается с угловой скоростью \(\omega\) в направлении против часовой стрелки. У носителей зарядов, находящихся на расстоянии \(r\) от оси диска, появляется коллективная скорость \(\omega r\), перпендикулярная оси диска, и, соответственно, появляется одинаковая (не зануляющаяся при суммировании по всем носителям) составляющая силы Лоренца, которая вызовет перераспределение носителей по радиусу до стационарного состояния, в котором разность потенциалов в точках, находящихся на расстояниях \(r\) и \(r + \mathrm{d}r\) от оси диска, равна \(\mathrm{d}\varphi = \omega B\,r\,\mathrm{d}r\).

Таким образом, присутствие магнитного поля вызовет появление во вращающемся диске ЭДС индукции, равной: \[\mathcal{E}_\text{инд} = \omega B\int_0^R r\,\mathrm{d}r = \frac{\omega BR^2}{2}, \tag{1}\] по знаку противоположной ЭДС источника.

Запишем второй закон Кирхгофа для контура электрической цепи: \[\mathcal{E} + \mathcal{E}_\text{инд} = \mathcal{E} - \frac{\omega BR^2}{2} = L\ddot q + \frac{q}{C}, \tag{2}\] где \(q\) — заряд конденсатора.

Далее запишем закон изменения энергии в электрической цепи, учитывая, что магнитное поле не совершает работы: \[A_\text{ист} = \mathcal{E}\cdot\Delta q = \Delta W_C + \Delta W_L + \Delta E_k,\] где \(W_C\) и \(W_L\) — энергия конденсатора и катушки индуктивности соответственно, а \(E_k\) — кинетическая энергия вращения обода. Приведём выражения для них: \[W_C = \frac{q^2}{2C} \qquad W_L = \frac{L\dot q^2}{2} \qquad E_k = \frac{mR^2\omega^2}{2}.\] Дифференцируя по времени закон сохранения энергии, получим: \[\mathcal{E}\dot q = \frac{q\dot q}{C} + L\dot q\ddot q + mR^2\omega\dot\omega. \tag{3}\] Умножая уравнение (2) на \(\dot q\) и вычитая из него уравнение (3), получим следующее соотношение между \(\dot\omega\) и \(\dot q\): \[\frac{BR^2\dot q}{2} = mR^2\dot\omega \;\Rightarrow\; \omega = \frac{qB}{2m}. \tag{4}\] В последнем переходе мы воспользовались начальными условиями: \[\omega(0) = 0 \qquad q(0) = 0.\]

Примечание: Связь \(\omega\) и \(q\) может быть получена из уравнения динамики вращательного движения диска относительно точки \(O\). Действительно: \[\frac{\mathrm{d}\vec L_O}{\mathrm{d}t} = mR^2\cdot\frac{\mathrm{d}\vec\omega}{\mathrm{d}t} = \vec M_O.\] Определим момент силы Ампера, действующей на возникающий в диске электрический ток: \[\mathrm{d}\vec M_O = \mathrm{d}I\,\bigl[\vec r\times[\mathrm{d}\vec r\times\vec B]\bigr] = -\mathrm{d}I\cdot r\,\mathrm{d}r\,\vec B,\] где \(r\) — расстояние до точки \(O\). Поскольку через круг любого радиуса с центром в точке \(O\) протекает ток силой \(I\) — для момента \(\vec M_O\) получим: \[\vec M_O = I\vec B\int_R^0 r\,\mathrm{d}r = \frac{IR^2\vec B}{2} = \frac{R^2\vec B}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.\]

Таким образом: \[mR^2\cdot\frac{\mathrm{d}\vec\omega}{\mathrm{d}t} = \frac{R^2\vec B}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \;\Rightarrow\; \vec\omega = \frac{q\vec B}{2m}.\] Таким образом, возможны три комбинации двух физических законов, приводящие к решению задачи: 1) закон электромагнитной индукции и закон сохранения энергии; 2) уравнение динамики вращательного движения и закон электромагнитной индукции; 3) уравнение динамики вращательного движения и закон сохранения энергии.

Для определения максимальной угловой скорости заметим, что она достигается в момент, когда сила тока в цепи оказывается равной нулю. Тогда из закона изменения энергии имеем: \[\mathcal{E}q = \frac{q^2}{2C} + \frac{mR^2\omega_\text{max}^2}{2} \;\Rightarrow\; \frac{2m\omega_\text{max}\mathcal{E}}{B} = \frac{\omega_\text{max}^2}{2}\left(\frac{4m^2}{B^2C} + mR^2\right),\] откуда: \[\omega_\text{max} = \frac{4BC\mathcal{E}}{4m + B^2R^2C}.\] Комбинируя уравнения (2) и (4), получим: \[\mathcal{E} = \ddot\omega\cdot\frac{2mL}{B} + \omega\cdot\left(\frac{BR^2}{2} + \frac{2m}{BC}\right). \tag{5}\] Вводя переменную \(\omega' = \omega - 2BC\mathcal{E}/(4m + B^2R^2C)\), получим уравнение гармонических колебаний: \[\ddot\omega' = -\omega'\left(\frac{1}{LC} + \frac{B^2R^2}{4mL}\right) = -\Omega_0^2\omega' \quad \left[\Omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} + \frac{B^2R^2}{4mL}}\right] \;\Rightarrow\; \omega'(t) = A\cos(\Omega_0t + \varphi_0).\] Определим \(A\) и \(\varphi_0\) из начальных условий: \[\begin{cases} \omega(0) = \dfrac{2BC\mathcal{E}}{4m + B^2R^2C} + A\cos\varphi_0 = 0\\ \dot\omega(0) = -\Omega_0A\sin\varphi_0 = 0 \end{cases} \;\Rightarrow\; \varphi_0 = \pi;\ A = \frac{2BC\mathcal{E}}{4m + B^2R^2C}.\] Окончательно для \(\omega(t)\) имеем: \[\omega(t) = \frac{2BC\mathcal{E}}{4m + B^2R^2C}\left(1 - \cos\left(\sqrt{\frac{1}{LC} + \frac{B^2R^2}{4mL}}\,t\right)\right). \tag{6}\] Угловая скорость впервые достигает значения \(\omega_\text{max}\), когда \(\cos\Omega_0\tau = -1\), т. е. при \(\omega_0\tau = \pi\). Тогда для \(\tau\) находим:

\[\tau = \frac{\pi}{\sqrt{\dfrac{1}{LC} + \dfrac{B^2R^2}{4mL}}}.\]