Минимальный заряд в нижней точке сферы

Устойчивость означает, что при малом смещении шарика возвращающая сила направлена к положению равновесия; сравните силу Кулона и силу тяжести при малом смещении.

Чтобы шарик с зарядом \(Q\) находился в равновесии, необходима компенсация сил, действующих на него (см. рисунок): \[F = mg + N,\] где \(F = \dfrac{QQ'}{4\pi\varepsilon_0(2R)^2}\). Чтобы это равновесие было устойчивым, шарик должен возвращаться в исходную точку при незначительном смещении из неё. Если смещение незначительно, то модули сил не изменятся, а их направления будут такими, как на рисунке. Для возврата в исходную точку необходимо выполнение неравенства \(N\sin\alpha > F\sin\beta\). Поскольку смещение шарика мало, то \(\sin\alpha \approx \alpha\), \(\sin\beta \approx \beta\). Учтём также, что \(\alpha = 2\beta\). Тогда \(N > \dfrac{F}{2}\). Поскольку в положении равновесия \(N = F - mg\), то получаем соотношение \(F > 2mg\). Подставляя значение \(F\), находим \(Q' > \dfrac{32mg\pi\varepsilon_0R^2}{Q}\), поэтому \(Q_{\min} > \dfrac{32mg\pi\varepsilon_0R^2}{Q}\).