Бросок камня со скалы в море

Выразите дальность падения через угол броска и высоту скалы. Максимум дальности найдите из условия, что при нём уравнение относительно \(\operatorname{tg}\alpha\) имеет единственное решение.

Обозначим через \(S\) расстояние от места падения тела в воду до берега. Воспользовавшись уравнениями траектории брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту тела, свяжем \(S\) с остальными параметрами задачи: \[H + S\operatorname{tg}\alpha - \frac{gS^2}{V_0^2\cos^2\alpha} = 0.\]

Удобнее всего находить оптимальный угол бросания, обеспечивающий максимальную дальность \(S_{\max}\), рассуждая следующим образом. Задаём произвольное \(S\) и находим угол \(\alpha\), решая это уравнение, для чего удобно воспользоваться формулой \(\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha + 1\). Соответственно уравнение становится квадратным относительно \(\operatorname{tg}\alpha\). Очевидно, что при \(S = S_{\max}\) решение должно быть единственным, что приводит к условию обращения дискриминанта в ноль. Решая затем уравнение относительно \(\alpha\), получим \[\operatorname{tg}\alpha_{\text{опт}} = \frac{V_0}{\sqrt{V_0^2 + 2gH}}.\]