Поверхностное натяжение

Резкое изображение потолочных светильников на листе под капелькой получается на расстоянии, равном фокусному (светильники далеко); радиус кривизны связан с фокусным расстоянием формулой линзы. Для толстого слоя минимизируйте полную потенциальную энергию — поверхностную плюс гравитационную — по толщине слоя при заданном объёме воды.

Пример результатов: \(f=15{,}9\) мм, \(d=5{,}8\) мм; \(R=f(n-1)\approx5{,}3\) мм, \(\alpha\approx33{,}2^\circ\); при \(V=2{,}00\) мл и \(A=12{,}7\) см\(^2\) толщина \(t=V/A\approx1{,}57\) мм; \(\sigma=\dfrac{\rho gt^2}{2(1-\cos\alpha)}\approx0{,}077\) Н/м.

i) Фокусное расстояние можно найти, регулируя высоту держателя пластинки так, чтобы получить резкое изображение потолочных светильников на экране (листе бумаги под держателем либо поверхности колпачка внутри держателя). Высоту можно точно измерить штангенциркулем. Диаметр капли также можно измерить штангенциркулем, но удобнее положить стеклянную пластинку на миллиметровую бумагу и снять показания диаметра по миллиметровой сетке. Возможная пара данных: \(f=15{,}9\) мм и \(d=5{,}8\) мм.

ii) Для связи фокусного расстояния с радиусом кривизны можно использовать формулу тонкой линзы (формулу шлифовщика линз): \[\frac1f=\frac{n-1}{R}\ \Rightarrow\ R=f(n-1)\approx5{,}3\text{ мм}.\] Те, кто не знает эту формулу, могут легко вывести её из закона Снеллиуса, рассмотрев пучок, падающий на линзу параллельно оптической оси, и воспользовавшись приближением малых углов \(\sin x\approx x\). Краевой угол смачивания воды и стекла можно найти с помощью тригонометрии: \[\alpha=90^\circ-\arccos\frac{d}{2R}\approx33{,}2^\circ.\]

iii) Увеличьте площадь поверхности воды, покрывающей стеклянную пластинку, насколько возможно — так минимизируется ошибка в расчётах, вносимая краевыми эффектами (поверхность воды вблизи краёв лужи не плоская). Можно спокойно позволить воде дойти до краёв стеклянной пластинки, пока остаётся небольшая часть периметра, где она до края не доходит — это гарантирует, что поверхность воды у краёв образует с горизонтом угол, равный краевому. Однако нельзя позволять воде дойти до краёв пластинки по всему периметру, так как в этом случае угол, образуемый поверхностью воды, может стать больше краевого из-за того, что на краю направление нормали к поверхности стеклянной пластинки меняется скачком; это привело бы к более толстому слою воды (этого не может произойти, если какая-то часть периметра ещё не касается края, так как тогда вместо увеличения глубины вода растекалась бы, заполняя незанятые части пластинки). Также рекомендуется избегать того, чтобы вода доходила до матовой области, так как не гарантируется, что эта часть чистая, и краевой угол на ней может быть другим. При объёме воды \(V=2{,}00\) мл вода заполняет почти всю глянцевую часть пластинки. Положив стеклянную пластинку на миллиметровую бумагу, можно сосчитать клетки сетки, получив \(A=12{,}7\) см\(^2\). Толщина слоя воды находится как \(t=V/A\approx1{,}57\) мм.

iv) Полная потенциальная энергия воды равна \(U=\sigma A(1-\cos\alpha)+\frac12V\rho gt\). Если подставить \(A=V/t\), получим \[U=V\left(\sigma\,\frac{1-\cos\alpha}{t}+\frac{\rho gt}{2}\right).\] Её минимум легко находится приравниванием \(dU/dt=0\), что даёт \[\sigma=\frac{\rho g t^2}{2(1-\cos\alpha)}\approx0{,}077\text{ Н/м}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.