Чёрный ящик

Напряжение на разомкнутых клеммах и ток через мультиметр меняются со временем по экспоненте: значит, внутри есть источник, конденсатор и (из-за двух разных времён релаксации) два резистора. Сравните начальные и установившиеся показания в двух опытах.

\(\mathcal E=3{,}155\) В. Для схем A и D: \(R_2=9{,}31\) кОм, \(R_1=4{,}94\) кОм, \(C\approx2{,}4\)–\(2{,}5\) мФ. Для схем B и C: \(R_1=3{,}23\) кОм, \(R_2=6{,}08\) кОм, \(C\approx5{,}7\)–\(5{,}8\) мФ.

Так как внутри могут быть элементы, создающие инерцию — \(LR\)-цепочки или \(RC\)-цепочки, — нужно запастись терпением при измерениях и подождать достаточно долго, пока система придёт к равновесию. Можно выполнить два типа измерений.

1) Продержав клеммы замкнутыми накоротко достаточно долго, отпустите замыкающий провод и измерьте напряжение \(V\) как функцию времени:

Эти данные построены на графике как \(\ln[(3155\text{ мВ}-V)/\text{мВ}]\) в зависимости от времени. Виден довольно хороший линейный график, что означает, что напряжение экспоненциально приближается к предельному значению \(3155\) мВ. Характерное время можно найти как величину, обратную наклону линии тренда (самые правые точки мы отбрасываем, так как там изменения напряжения малы, а потому относительные ошибки велики). В результате получаем \(\tau_1=34{,}5\) с.

На рисунке: \(\ln(V/\text{мВ})\) по вертикальной оси, \(t\) в секундах — по горизонтальной.

2) Продержав клеммы разомкнутыми достаточно долго, отпустите замыкающий провод и измерьте ток \(I\) как функцию времени:

Эти данные построены на графике как \(\ln[(I-339\text{ мкА})/\text{мкА}]\) в зависимости от времени. Виден довольно хороший линейный график, что означает, что напряжение (ток) экспоненциально приближается к предельному значению \(339\) мкА. Характерное время можно найти как величину, обратную наклону линии тренда (самые правые точки мы отбрасываем, так как там изменения напряжения малы, а потому относительные ошибки велики). В результате получаем \(\tau_1=\\)\underline{  } с.

На рисунке: \(\ln(I/\text{мкА})\) по вертикальной оси, \(t\) в секундах — по горизонтальной.

Эти данные означают, что внутри должны быть батарея, поддерживающая напряжение, конденсатор, обеспечивающий инерцию (экспоненциальное приближение к равновесию), и резисторы. В принципе следует рассмотреть и вариант, когда вместо конденсатора стоит катушка индуктивности; однако его можно исключить несколькими способами. Во-первых, с катушкой нереально получить достаточно длинные времена релаксации. Действительно, одно только внутреннее сопротивление амперметра составляет порядка сотни Ом, а характерное время около \(20\) секунд означало бы, что индуктивность должна быть порядка килогенри — даже если такая катушка существует, она не поместилась бы в ящик. Во-вторых, если бы внутри была большая катушка, она не могла бы быть одиноким элементом, подключённым к одной из клемм. Действительно, при подключении амперметра к клеммам ненулевой ток появляется сразу, а не нарастает с нуля (как было бы в случае катушки). Значит, она должна образовывать замкнутый контур с резистором и батареей. Но тогда, если мы некоторое время держим клеммы замкнутыми накоротко, а затем отсоединяем, напряжение на клеммах изменилось бы скачком, так как ток через один из резисторов пришлось бы изменить скачком (чтобы ток катушки оставался непрерывным).

Первое соображение: резисторов должно быть два, поскольку есть два разных характерных времени (один резистор с двумя конденсаторами даёт всё равно только одно характерное время, так как конденсаторы, соединённые параллельно или последовательно, эффективно сливаются в один). Далее, ограничение (I): батарея и конденсатор не могут быть соединены последовательно, так как они эффективно слились бы в один конденсатор. Ограничение (II): батарея и конденсатор не могут быть соединены и параллельно, так как они эффективно слились бы в одну батарею. Затем ограничение (III): ни конденсатор, ни батарея не могут быть подключены непосредственно к выходным клеммам, так как в одном случае ток амперметра при подключении к выходу асимптотически стремился бы к нулю, а в другом выходное напряжение всегда было бы постоянным. Это автоматически исключает многие возможности, см. ниже. Кроме того, (IV): не должно быть прямого пути от одной клеммы к другой, проходящего только через конденсатор и батарею, так как в этом случае ток амперметра был бы очень большим, а соответствующее характерное время — очень коротким. Наконец, (V): конденсатор может быть только в параллельном соединении с чем-либо, поскольку иначе при подключении вольтметра к выходу не было бы тока конденсатора, а значит, напряжение оставалось бы постоянным.

Топологически возможны варианты: (a) всё параллельно — исключено по (I); (b) всё последовательно — исключено по (II); (c) три элемента параллельно, все вместе последовательно с четвёртым элементом — исключено по (I) и (IV); (d) параллельные цепочки 3+1 (т. е. 3 элемента в одной цепочке и 1 элемент в другой) — исключено по (III) и (I); (d) одна параллельная пара последовательно с другой параллельной парой — исключено по (IV) и (II); (e) параллельные цепочки 2+2; (f) параллельные цепочки 1+2, все вместе последовательно с четвёртым элементом; (g) пара параллельно, все вместе последовательно с третьим и четвёртым элементами.

В варианте (e) батарея и конденсатор должны находиться в разных цепочках по (I); это схема A.

В варианте (g) конденсатор должен находиться в параллельной паре с резистором по (V) и (II); это схема B.

В варианте (f) по (V) конденсатор должен находиться в параллельном участке: либо (f1) как единственный элемент, либо (f2) в паре, последовательно с резистором, по (I). В случае (f1) по (III) батарея должна находиться в другом параллельном участке (последовательно с резистором); это схема C. В случае (f2) комбинаторика говорит, что есть два положения батареи: либо как единственный элемент последовательно, — это схема (D), либо параллельно последовательному соединению конденсатор—резистор. Последний вариант, однако, означает, что батарея всегда поддерживала бы одно и то же напряжение на последовательном соединении конденсатор—резистор, т. е. выходные напряжение и ток всегда оставались бы постоянными.

Схема (A):

Схема (B):

Схема (C):

Схема (D):

Во всех четырёх случаях показание вольтметра при подключении к выходу асимптотически стремится к ЭДС батареи, так что \(\mathcal E=3{,}155\) В.

Для случаев (A) и (D) начальное показание амперметра равно \(I_0=\mathcal E(R_1^{-1}+R_2^{-1})=978\) мкА, а асимптотическое показание амперметра равно \(I_f=\mathcal E/R_2=339\) мкА; исходя из этого можно вычислить \(R_2=\mathcal E/I_f=9{,}31\) кОм и \(R_1=(I_0/\mathcal E-1/R_2)^{-1}=4{,}94\) кОм. Для этих случаев начальное напряжение \(U_i=\mathcal ER_1/(R_1+R_2)\), так что можно проверить, всё ли сходится: мы получили \(R_1/(R_1+R_2)=0{,}347\), а \(U_i/\mathcal E=0{,}340\); это согласие в пределах погрешностей.

Для тех же случаев \(\tau_1=(R_1+R_2)C\), так что \(C=\tau_1/(R_1+R_2)=2{,}42\) мФ. Можно вычислить то же самое и по \(\tau_2=R_1C\), откуда \(C=\tau_2/R_1=2{,}50\) мФ. Снова результаты совпадают в пределах погрешностей.

Наконец, для (B) и (C) начальное показание амперметра равно \(I_0=\mathcal E/R_1=978\) мкА, а асимптотическое показание амперметра равно \(I_f=\mathcal E/(R_1+R_2)=339\) мкА; исходя из этого можно вычислить \(R_1=\mathcal E/I_0=3{,}23\) кОм и \(R_2=(\mathcal E/I_f)-R_1=6{,}08\) кОм. Выражение для начального напряжения остаётся прежним, \(U_i=\mathcal ER_1/(R_1+R_2)\), так что мы снова можем проверить, всё ли сходится: мы получили \(R_1/(R_1+R_2)=0{,}347\), а \(U_i/\mathcal E=0{,}340\); это согласие в пределах погрешностей.

Теперь \(\tau_1=R_2C\), так что \(C=\tau_1/R_2=5{,}67\) мФ. Можно вычислить то же самое и по \(\tau_2=R_1R_2C/(R_1+R_2)\), откуда \(C=\tau_2(R_1+R_2)/(R_1R_2)=5{,}84\) мФ. Снова результаты совпадают в пределах погрешностей.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.