Кольцо на границе

Тангенциальная сила Лоренца на участке кольца пропорциональна проекции этого участка на границу: просуммируйте её и свяжите приращение угловой скорости с приращением магнитного потока через кольцо. Сила Лоренца работы не совершает.

На участки кольца, находящиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная вектору \(\vec B\) и вектору скорости участка кольца. Можно рассматривать движение кольца как наложение поступательного движения в направлении вдоль границы со скоростью \(v_x\), поступательного движения перпендикулярно границе со скоростью \(v_y\) и вращения с угловой скоростью \(\omega\).

Из-за поступательного движения в направлении \(y\) возникает момент силы Лоренца, раскручивающий кольцо. Этот момент сил исчезает только после того, как кольцо полностью окажется в области поля. Сумма сил Лоренца, действующих на участки в области поля, связанная с движением вдоль \(y\), направлена вдоль границы и изменяет значение \(v_x\).

Силы Лоренца, связанные с поступательным движением вдоль оси \(x\), изменяют скорость \(v_y\), но не создают момента сил, раскручивающих кольцо. Силы Лоренца, возникающие из-за вращательного движения кольца, как легко убедиться, действуют только вдоль \(y\) и не влияют на движение вдоль \(x\).

Рассмотрим тангенциальную составляющую силы Лоренца, действующую на участок кольца длины \(\Delta l\), связанную с \(v_y\). Она равна \(\lambda\Delta l Bv_y\cos\varphi\), где \(\varphi\) — угол между этим участком и осью \(x\). Величина \(\Delta l\cos\varphi\) представляет собой проекцию этого участка на \(x\), а сумма тангенциальных составляющих для всех участков, находящихся в области магнитного поля, будет равна \(\lambda l_xBv_y\), где \(l_x\) — длина хорды, стягивающей концы участка кольца, находящегося в области поля. Тогда \[mR\frac{d\omega}{dt} = \lambda Bv_yl_x.\] После домножения обеих частей уравнения на \(dt\), с учётом того, что \(v_y\,dt = dy\), а \(l_x\,dy = dS\), где \(dS\) — дополнительная площадь кольца, которая оказывается в области поля за время \(dt\), получаем \[mR\,d\omega = \lambda\cdot d\Phi,\] где \(d\Phi\) — прирост потока магнитного поля через плоскость кольца.

Если кольцо полностью окажется в области магнитного поля, его угловая скорость вращения будет равна \[\omega = \frac{\pi\lambda BR}{m}.\] Итак, ответ на первый вопрос задачи: \(\omega = \dfrac{\pi\lambda BR}{m}\).

Как отмечалось выше, вращение не влияет на проекцию скорости \(v_x\), её изменение целиком определяется \(y\)-проекцией скорости центра и зарядом той части кольца (дуги длины \(l\)), которая находится в поле. \[m\frac{dv_x}{dt} = \lambda lBv_y.\] Пусть \(y\) — координата точки кольца, наиболее удалённой от границы. Другими словами, это расстояние, на которое сместилось кольцо в направлении \(y\) от начала движения. Тогда \(l = 2R\arccos\left(\dfrac{R-y}{R}\right)\). Далее \[m\frac{dv_x}{dt} = 2\lambda BRv_y\arccos\left(\frac{R-y}{R}\right).\]

Домножив на \(dt\), переходим к интегралу \[v_x = \frac{2\lambda BR}{m}\int_0^{2R}\arccos\left(\frac{R-y}{R}\right)dy = \frac{2\pi\lambda BR^2}{m}.\] Теперь воспользуемся законом сохранения энергии, учитывая тот факт, что сила Лоренца работы не совершает и кинетическая энергия кольца в любой момент времени равна начальной. \[\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_x^2}{2} + \frac{mv_y^2}{2} + \frac{mR^2\omega^2}{2}.\] Для ответа на второй вопрос задачи положим в этом выражении \(v_y = 0\) и воспользуемся результатом ответа на первый пункт для угловой скорости. Тогда \[v_{\min}^2 = v_x^2 + R^2\omega^2 = 5\left(\frac{\pi\lambda BR^2}{m}\right)^2, \qquad v_{\min} = \frac{\sqrt5\,\pi\lambda BR^2}{m}.\] Поскольку \(v_x\) уже найдено, то для ответа на третий вопрос достаточно определить проекцию \(v_y\) в момент, когда кольцо целиком окажется в поле.

Из закона сохранения энергии находим: \(v_y = \sqrt{v_0^2 - v_x^2 - \omega^2R^2} = \sqrt{v_0^2 - v_{\min}^2}\). Для тангенса искомого угла: \(\tan\theta = v_y/v_x\). Следовательно, \[\tan\theta = \frac{\sqrt{v_0^2 - v_{\min}^2}}{v_x} = \sqrt{\left(\frac{mv_0}{2\pi\lambda BR^2}\right)^2 - \frac54}, \qquad \theta = \arctan\sqrt{\left(\frac{mv_0}{2\pi\lambda BR^2}\right)^2 - \frac54}.\] С момента, когда кольцо целиком оказывается в области поля, его угловая скорость перестаёт меняться и центр кольца движется как точечный заряд \(q = 2\pi R\lambda\) со скоростью, проекции которой равны значениям \(v_x\) и \(v_y\) в момент пересечения границы области последней точкой кольца. С этого момента \[m\frac{dv_x}{dt} = 2\pi\lambda RBv_y.\] После уже традиционного домножения на \(dt\) и интегрирования получаем \[\Delta y = \frac{m\Delta v_x}{2\pi\lambda RB}.\] Здесь \(\Delta y\) — изменение \(y\)-координаты центра от момента полного вхождения в поле до момента максимального удаления центра от границы, \(\Delta v_x\) — соответствующее этим моментам времени изменение проекции скорости.

\(v_x\) в момент максимального удаления можно найти из закона сохранения энергии: \[v_x = \sqrt{v_0^2 - \left(\frac{\pi\lambda BR^2}{m}\right)^2}.\] Тогда \[\Delta v_x = \sqrt{v_0^2 - \left(\frac{\pi\lambda BR^2}{m}\right)^2} - \frac{2\pi\lambda BR^2}{m}.\] Искомое максимальное удаление: \[y_{\max} = R + \frac{m\Delta v_x}{2\pi\lambda RB} = \sqrt{\left(\frac{mv_0}{2\pi\lambda RB}\right)^2 - \frac{R^2}{4}}.\]