КПД цикла с дугой окружности

Работу за цикл найдите как долю площади прямоугольника \(p_0V_0\). Для пункта Б запишите отданное тепло через КПД и подумайте, какое тепло в трёх циклах одно и то же.

А) Площадь прямоугольника, в который вписан данный цикл, соответствует работе \(p_0V_0\) (при данном выборе масштабов этот прямоугольник выглядит как квадрат). Работа, которую совершил газ за цикл \(11'231\), во столько раз меньше \(p_0V_0\), во сколько раз площадь четверти круга меньше площади квадрата. Поэтому \[A = p_0V_0\left(\frac{\frac{1}{4}\pi R^2}{R^2}\right) = \frac{1}{4}\pi p_0V_0 = \frac{1}{4}\pi\nu R T_0 \cong 0{,}78\text{ кДж}.\] КПД цикла \(11'231\) посчитаем по формуле \(\eta = \dfrac{A}{A + |Q_-|}\). Газ отдавал теплоту в процессе \(231\). По первому началу термодинамики \[|Q_-| = \frac{c_V}{R}\,(4p_0V_0 - 2p_0V_0) + \frac{c_p}{R}\,(2p_0V_0 - p_0V_0) = p_0V_0\left(2\cdot\frac{3}{2} + \frac{5}{2}\right) = \frac{11}{2}\,p_0V_0 \cong 5{,}5\text{ кДж}.\] Тогда \[\eta = \frac{A}{A + |Q_-|} = \frac{\frac{1}{4}\pi p_0V_0}{\frac{1}{4}\pi p_0V_0 + \frac{11}{2}\,p_0V_0} = \frac{\pi}{\pi + 22} \cong 12{,}5\,\%.\]

Б) Из формулы для КПД следует: \(|Q_-| = Q_+(1 - \eta)\). Тогда для цикла \(11'22'1\): \(|Q_{22'1}| = Q_{11'2}(1 - \eta_2)\). Для цикла \(12'231\): \(|Q_{231}| = Q_{12'2}(1 - \eta_1)\). Для цикла \(11'231\): \(|Q_{231}| = Q_{11'2}(1 - \eta)\). Значит, \((1 - \eta_1)(1 - \eta_2) = 1 - \eta\), откуда \[\eta_2 = \frac{\eta - \eta_1}{1 - \eta_1} = \frac{\dfrac{\pi}{\pi + 22} - \eta_1}{1 - \eta_1}.\]