Задачи › Потенциал электрического поля

Капельница Кельвина

  1. Капельница Кельвина

    Белорусская 2022/23, 10 кл.
    6/10
    Рисунок

    Капельница Кельвина — электростатический генератор, изобретённый Уильямом Томсоном (лордом Кельвином) в 1867 году. Простая конструкция позволяет, тем не менее, получить напряжения порядка 10 кВ.

    В настоящее время имеется много различных модификаций этого прибора, который в настоящее время рассматривается как забавная игрушка. В данном задании рассмотрим следующую упрощенную модель этого устройства.

    Цилиндрический сосуд 1, заполненный водой, снабжен двумя небольшими трубочками – капельницами 2 и 3, из которых с некоторым интервалом падают капли. Капли пролетают через проводящие кольца 4 и 5 и попадают в проводящие сферические сосуды 6 и 7 с небольшими отверстиями. Сосуды соединены с кольцами «крест-накрест».

    Рисунок

    Принцип работы этого электростатического генератора очевиден: - изначально сосудам 6 и 7 сообщают небольшие электрические заряды противоположного знака \(+Q\) и \(-Q\); радиусы этих сосудов равны \(R\). Электростатическим воздействием одного сосуда на другой следует пренебречь; - часть этих зарядов \(\pm Q_1\) перетекает на кольца 4 и 5; два кольца служат обкладками конденсатора, электрическая емкость которого равна \(C\); так как эта емкость мала, то следует считать, что \(|Q_1|\ll|Q|\); радиусы колец равны \(r\), они находятся на расстоянии \(h\) от концов трубок с каплями, толщина колец значительно меньше из радиусов; - электрическое поле колец индуцирует на каплях заряды \(\pm q\), радиусы капель равны \(a\); расстояние от сосудов 6 и 7 до капель достаточно велико, поэтому влиянием поля сосудов на капли можно пренебречь; расстояние между каплями также значительно больше радиусов капель; сосуд с водой 1 заземлен; Таким образом, капли приобретают электрический заряд, который при попадании капли в сосуд передается соответствующему сосуду, увеличивая его заряд.

    1. Пусть заряды каждого сосуда равны \(\pm Q\). Найдите, какие заряды \(\pm Q_1\) возникают на кольцах.

    2. Рассчитайте электрические заряды капель \(\pm q\). Величину этого заряда можно представить в виде \(q=\alpha Q\), где \(\alpha\) – некоторый безразмерный коэффициент. Запишите формулу для этого коэффициента.

    3. Обозначим заряды сосудов до падения первых капель \(\pm Q_0\). Найдите заряды этих сосудов, после того, как в них упало по \(N\) капель. Ответ выразите через коэффициент \(\alpha\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Потенциал сферы заряда \(Q\) равен \(kQ/R\); разность потенциалов колец связана с зарядом конденсатора \(C\). Капля, притянутая кольцом, получает заряд, пропорциональный заряду кольца; сумма потенциалов в точке капли — от кольца и от заряженной капли. Далее — геометрическая прогрессия по числу капель.

    Ответ

    1) \(Q_1=\dfrac{2kC}{R}Q\);  2) \(\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{r^2+h^2}}\cdot\dfrac{2kC}{R}\);  3) \(Q_N=(1+\alpha)^N Q_0\).

    Решение

    1. Если заряд сферы равен \(Q\), то ее потенциал равен \[\varphi=k\frac{Q}{R},\qquad (1)\] где \(k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\). Поэтому разность потенциалов между кольцами равна \[\Delta\varphi=2k\frac{Q}{R}.\qquad (2)\] Тогда электрический заряд каждого кольца равен (из определения емкости конденсатора): \[C=\frac{Q_1}{\Delta\varphi}\ \Rightarrow\ Q_1=C\Delta\varphi=\frac{2kC}{R}Q.\qquad (3)\]

    2. Так как верхний сосуд заземлен, то потенциал всех его точек (в том числе и капель) равен нулю. Потенциал капли равен сумме потенциалов поля, создаваемых зарядом на ближайшем кольце, и поля, создаваемого зарядом на самой капле. Потенциал поля кольца в точке нахождения капли легко определить, используя принцип суперпозиции: \[\varphi_1=k\frac{Q_1}{\sqrt{r^2+h^2}}.\qquad (4)\] Такой же по модулю (но противоположный по знаку) потенциал создается зарядом на капле \[\varphi_1=k\frac{q}{a}.\qquad (5)\] Приравнивая эти выражения, находим заряд капли \[q=\frac{a}{\sqrt{r^2+h^2}}\,Q_1=\frac{a}{\sqrt{r^2+h^2}}\cdot\frac{2kC}{R}\,Q.\qquad (6)\] Из этой формулы следует, что безразмерный коэффициент пропорциональности между зарядом капли и зарядом сосуда равен \[\alpha=\frac{a}{\sqrt{r^2+h^2}}\cdot\frac{2kC}{R}.\qquad (7)\]

    3. Пусть после попадания \((N-1)\) капель заряд сосуда равен \(Q_{N-1}\), тогда после падения очередной капли заряд сосуда станет равным \[Q_N=Q_{N-1}+q=Q_{N-1}+\alpha Q_{N-1}=\left(1+\alpha\right)Q_{N-1}.\qquad (8)\] Из этого выражения следует, что заряд сосуда возрастает в геометрической прогрессии, поэтому \[Q_N=\left(1+\alpha\right)^N Q_0.\qquad (9)\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх