зад 1 Термоскоп Галилея
Первый термоскоп сконструировал итальянский физик Галилео Галилей примерно в 1592—1600 годах. Термоскоп (греч. Θέρμη [термо] «тепло» +σκοπέω [скопео] «смотрю») — устройство, которое показывает изменения температуры, родоначальник современных термометров. Типичная конструкция термоскопа представляет собой трубку, в которой жидкость поднимается и опускается при изменении температуры.
Молодой, но талантливый белорусский физик Федор, прочитав это сообщение, решил превзойти знаменитого итальянского ученого: не только самостоятельно сконструировать и изготовить подобный прибор, но и снабдить его точно рассчитанной температурной шкалой. Тем, более, что Федор только что изучил газовый законы, еще не известные во времена Г.Галилея.
Часть 1. Конструирование и градуировка в идеальном случае.
Федор нашел стеклянную трубку, измерил ее размеры: длина трубки \(l=50\) см; внутренний диаметр \(d=0{,}50\) см. Федор закрепил трубку вертикально, нижний конец трубки опустил в широкий сосуд с водой. Погруженной в воду частью трубки можно пренебречь, также можно считать, что уровень воды в нижнем сосуде постоянен.
К верхней части трубки прикрепил сосуд, объем которого \(V_1\) Федор тщательно рассчитал. Рядом с трубкой располагается шкала, по которой можно измерять высоту \(h\), на которую поднимается вода в трубке.
Для расчетов используйте следующие параметры: плотность воды \(\rho=1{,}00\cdot10^3\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\) и не зависит от температуры; атмосферное давление постоянно и равно \(P_0=1{,}00\cdot10^5\) Па; ускорение свободного падения \(g=10{,}0\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\); абсолютный нуль температуры \(\tau=-273\ ^\circ C\).
Федор решил, что с помощью данного прибора необходимо измерять температуру в диапазоне от \(t_{\min}=10\ ^\circ C\) до \(t_{\max}=40\ ^\circ C\) (по его мнению, именно в таком диапазоне изменяется температура в квартирах).
Федор рассудил, что давлением насыщенных паров воды внутри термоскопа можно пренебречь так, как в выбранном диапазоне температур оно значительно (более, чем в 10 раз) меньше атмосферного давления.
Настройку термоскопа Федор проводил следующим образом. Трубку с сосудом вверху вертикально опускают в воду в нижнем сосуде, так, она незначительно погружается в воду. Погруженной в воду частью трубки можно пренебречь, также можно считать, что уровень воды в нижнем сосуде постоянен. После этого воду нагревают до температуры \(t_{\max}=40\ ^\circ C\), воздух в трубке также нагревается до этой же температуры. Воздух частично выходит из трубки, тем самым оказывается, что при этой температуре высота уровня воды в трубке равна \(h=0\). При остывании уровень воды в трубке повышается, тем самым данный прибор можно использовать в качестве комнатного термометра.
1.1 Рассчитайте, при каком объеме верхнего сосуда \(V_1\) вода полностью заполнит трубку (т.е. высота уровня воды в трубке станет равной \(h=l\)), если температура опустится до значения \(t_{\min}=10\ ^\circ C\).
Для дальнейших расчетов удобно использовать следующие параметры: \[\alpha=\frac{\rho g l}{P_0}\ \text{– отношение гидростатического давления воды в полностью заполненной трубке;}\] \[\beta=\frac{Sl}{V_1+Sl}\ \text{– отношение объема трубки к полному объему термоскопа (верхнего сосуда и трубки);}\] \[z=\frac{h}{l}\ \text{– относительная высота уровня воды в трубке (отношение высоты уровня к длине трубки).}\]
1.2 Рассчитайте численные значения параметров установки \(\alpha\) и \(\beta\).
1.3 Получите уравнение, позволяющее рассчитать зависимость относительной высоты уровня воды в трубке от температуры в комнате \(z(t)\). В качестве параметров этого уравнения должны входить только безразмерные параметры \(\alpha,\beta\) и минимальная температура \(t_{\min}\).
1.4 Постройте градуировочный график зависимости \(z(t)\). Результаты расчетов (в том числе и промежуточные) приведите в Таблице 1 Листов ответов. График постройте на приведённом бланке Листов ответов.
Часть 2. Реальные измерения.
В ходе экспериментальной проверки изготовленного термоскопа Федор обнаружил, что показания прибора заметно отличаются от рассчитанных значений. Федор понял, что давлением водяных паров внутри термоскопа пренебрегать нельзя. Найти зависимость давления насыщенных водяных паров от температуры не представляет труда. Эта зависимость в используемом диапазоне температур приведена в Таблице 2 Листов ответов. Там же для наглядности приведен график этой зависимости. В этой части вы должны провести расчет зависимости высоты поднятия воды в трубке от температуры с учетом влияния водяных паров. Все параметры прибора остались прежними.
2.1 Получите уравнение, позволяющее рассчитать зависимость относительной высоты уровня воды в трубке от температуры в комнате \(z(t)\). В качестве параметров этого уравнения должны входить только безразмерные параметры \(\alpha,\beta\), минимальная температура \(t_{\min}\), а также отношение давления насыщенных паров воды к атмосферному давлению \(\gamma=\dfrac{P_{\text{нас.}}}{P_0}\).
2.2 Рассчитайте значения относительной высоты уровня воды в трубке от температуры \(z(t)\), для температур, приведенных в Таблице 2. Постройте график полученной зависимости.
▶ПодсказкаСкрыть
Уравнение состояния воздуха в трубке в двух состояниях (при \(t_{\max}\) и при текущей температуре) с учетом гидростатического давления столба воды; при учете паров давление сухого воздуха равно \(P_0-P_{\text{нас.}}-\rho gh\). В итоге получается квадратное уравнение относительно \(z\), его корень выбирается из физических соображений.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(V_1\approx 194\) см³; 1.2) \(\alpha=5{,}0\cdot10^{-3}\), \(\beta=0{,}048\); 1.3) \(az^2+bz+c=0\), \(a=\alpha\beta\), \(b=-(\alpha+\beta)\), \(c=1-\dfrac{t+273}{313}\), откуда \(z=\dfrac{(\alpha+\beta)-\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\,\frac{40-t}{313}}}{2\alpha\beta}\); 1.4) график \(z(t)\) (см. решение); 2.1) \(az^2+bz+c=0\) с \(a=\alpha\beta\), \(b=-(\alpha+\beta(1-\gamma))\), \(c=(1-\gamma)-(1-\gamma_{\max})\dfrac{T}{T_{\max}}\); 2.2) см. таблицу и график в решении.
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Конструирование и градуировка в идеальном случае.
1.1 – 1.2 Масса воздуха в термоскопе остается постоянной, поэтому для этого воздуха справедливо уравнение состояния Клапейрона (для состояний при максимальной и минимальной температурах): \[\frac{P_0\left(V_1+Sl\right)}{T_{\max}}=\frac{\left(P_0-\rho gl\right)V_1}{T_{\min}}.\qquad (1)\] Где \(Sl=\dfrac{\pi d^2}{4}\,l\) – внутренний объем трубки.
Из уравнения (1) находим: \[1+\frac{Sl}{V_1}=\left(1-\alpha\right)\frac{T_{\max}}{T_{\min}}\ \Rightarrow\ \frac{Sl}{V_1}=\left(1-\alpha\right)\frac{T_{\max}}{T_{\min}}-1\ \Rightarrow\ V_1=\frac{Sl}{\left(1-\alpha\right)\dfrac{T_{\max}}{T_{\min}}-1}.\qquad (2)\] Численные расчеты приводят к результатам: \[Sl=\frac{\pi\cdot0{,}5^2}{4}\cdot50=9{,}82\ \text{см}^3,\qquad \alpha=\frac{\rho gl}{P_0}=\frac{1{,}0\cdot10^3\cdot10\cdot0{,}50}{1{,}0\cdot10^5}=5{,}0\cdot10^{-3},\] \[V_1=\frac{Sl}{\left(1-\alpha\right)\dfrac{T_{\max}}{T_{\min}}-1}=\frac{9{,}82\ \text{см}^3}{\left(1-0{,}050\right)\dfrac{40+273}{10+273}-1}\approx194\ \text{см}^3,\qquad \beta=\frac{Sl}{V_1+Sl}=0{,}048.\qquad (3)\]
1.3 Запишем уравнение Клапейрона для воздуха в трубке, используя начальное и промежуточное состояния: \[\frac{P_0\left(V_1+Sl\right)}{T_{\max}}=\frac{\left(P_0-\rho gh\right)\left(V_1+Sl-Sh\right)}{T}.\qquad (4)\] Перепишем его в «безразмерной» форме \[\frac{T}{T_{\max}}=\left(1-\frac{\rho gl}{P_0}\cdot\frac{h}{l}\right)\left(1-\frac{Sl}{V_1+Sl}\cdot\frac{h}{l}\right)\ \Rightarrow\ \frac{T}{T_{\max}}=\left(1-\alpha z\right)\left(1-\beta z\right).\qquad (5)\] Это уравнение является квадратным относительно величины \(z\): \[az^2+bz+c=0,\qquad a=\alpha\beta;\quad b=-\left(\alpha+\beta\right);\quad c=1-\frac{T}{T_{\max}}=1-\frac{t+273}{313}.\qquad (5')\] Которое может быть решено по известной формуле \[z=\frac{\left(\alpha+\beta\right)-\sqrt{\left(\alpha+\beta\right)+4\alpha\beta\left(\dfrac{40-t}{313}\right)}}{2\alpha\beta}.\qquad (6)\]
Отметим, что необходимо выбрать знак «минус» перед корнем.
1.4 Результаты расчетов приведены в таблице 1 и на графике.
Замечания. 1) В данном случае можно рассчитать (что заметно проще) обратную зависимость \(t(z)\) непосредственно по формуле (5). 2) Квадратное уравнение (5) можно решить приближенно, пренебрегая произведением \(\alpha\beta\). В этом приближении получается практически та же зависимость.
Часть 2. Реальные измерения.
2.1 В этом случае суммарное давление газов в термостате равно сумме давлений сухого воздуха и давления водяного пара. Давление сухого воздуха подчиняется уравнению состояния, т.к. масса сухого воздуха остается неизменной. А давление водяного пара есть давление насыщенного водяного пара, зависящее только от температуры (и не зависящее от занимаемого объема). Поэтому при высоте уровня воды в сосуде \(h\), связь между различными давлениями определяется уравнением равновесия столба воды \[P_0=P+P_{\text{нас.}}+\rho gh,\qquad (7)\] откуда следует, что давление сухого воздуха равно \[P=P_0-P_{\text{нас.}}-\rho gh.\qquad (8)\] Уравнение Клапейрона для сухого воздуха в этом случае имеет вид: \[\frac{\left(P_0-P_{\text{нас.}}(t_{\max})\right)\left(V_1+Sl\right)}{T_{\max}}=\frac{\left(P_0-P_{\text{нас.}}(t)-\rho gh\right)\left(V_1+Sl-Sh\right)}{T}.\qquad (9)\] Или в безразмерных параметрах: \[\frac{1-\dfrac{P_{\text{нас.}}(t_{\max})}{P_0}}{T_{\max}}=\frac{\left(1-\dfrac{P_{\text{нас.}}(t)}{P_0}-\dfrac{\rho gl}{P_0}\dfrac{h}{l}\right)\left(1-\dfrac{Sl}{V_1+Sl}\dfrac{h}{l}\right)}{T}\ \Rightarrow\ \left(1-\gamma_{\max}\right)\frac{T}{T_{\max}}=\left(1-\gamma-\alpha z\right)\left(1-\beta z\right).\qquad (10)\] Это уравнение также приводится к квадратному уравнению типа (5) с параметрами \[az^2+bz+c=0,\qquad a=\alpha\beta;\quad b=-\left(\alpha+\beta\left(1-\gamma\right)\right);\quad c=\left(1-\gamma\right)-\left(1-\gamma_{\max}\right)\frac{T}{T_{\max}}.\qquad (11)\] Результаты расчетов всех параметров уравнения (11) и его решение представлены в Таблице 2.
Для наглядности на графике оставлена зависимость, рассчитанная без учета давления водяных паров. Естественно, что полученная зависимость имеет смысл только при \(z\le 1\).
зад 2 Капельница Кельвина
Капельница Кельвина — электростатический генератор, изобретённый Уильямом Томсоном (лордом Кельвином) в 1867 году. Простая конструкция позволяет, тем не менее, получить напряжения порядка 10 кВ.
В настоящее время имеется много различных модификаций этого прибора, который в настоящее время рассматривается как забавная игрушка. В данном задании рассмотрим следующую упрощенную модель этого устройства.
Цилиндрический сосуд 1, заполненный водой, снабжен двумя небольшими трубочками – капельницами 2 и 3, из которых с некоторым интервалом падают капли. Капли пролетают через проводящие кольца 4 и 5 и попадают в проводящие сферические сосуды 6 и 7 с небольшими отверстиями. Сосуды соединены с кольцами «крест-накрест».
Принцип работы этого электростатического генератора очевиден: - изначально сосудам 6 и 7 сообщают небольшие электрические заряды противоположного знака \(+Q\) и \(-Q\); радиусы этих сосудов равны \(R\). Электростатическим воздействием одного сосуда на другой следует пренебречь; - часть этих зарядов \(\pm Q_1\) перетекает на кольца 4 и 5; два кольца служат обкладками конденсатора, электрическая емкость которого равна \(C\); так как эта емкость мала, то следует считать, что \(|Q_1|\ll|Q|\); радиусы колец равны \(r\), они находятся на расстоянии \(h\) от концов трубок с каплями, толщина колец значительно меньше из радиусов; - электрическое поле колец индуцирует на каплях заряды \(\pm q\), радиусы капель равны \(a\); расстояние от сосудов 6 и 7 до капель достаточно велико, поэтому влиянием поля сосудов на капли можно пренебречь; расстояние между каплями также значительно больше радиусов капель; сосуд с водой 1 заземлен; Таким образом, капли приобретают электрический заряд, который при попадании капли в сосуд передается соответствующему сосуду, увеличивая его заряд.
1. Пусть заряды каждого сосуда равны \(\pm Q\). Найдите, какие заряды \(\pm Q_1\) возникают на кольцах.
2. Рассчитайте электрические заряды капель \(\pm q\). Величину этого заряда можно представить в виде \(q=\alpha Q\), где \(\alpha\) – некоторый безразмерный коэффициент. Запишите формулу для этого коэффициента.
3. Обозначим заряды сосудов до падения первых капель \(\pm Q_0\). Найдите заряды этих сосудов, после того, как в них упало по \(N\) капель. Ответ выразите через коэффициент \(\alpha\).
▶ПодсказкаСкрыть
Потенциал сферы заряда \(Q\) равен \(kQ/R\); разность потенциалов колец связана с зарядом конденсатора \(C\). Капля, притянутая кольцом, получает заряд, пропорциональный заряду кольца; сумма потенциалов в точке капли — от кольца и от заряженной капли. Далее — геометрическая прогрессия по числу капель.
▶ОтветСкрыть
1) \(Q_1=\dfrac{2kC}{R}Q\); 2) \(\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{r^2+h^2}}\cdot\dfrac{2kC}{R}\); 3) \(Q_N=(1+\alpha)^N Q_0\).
▶РешениеСкрыть
1. Если заряд сферы равен \(Q\), то ее потенциал равен \[\varphi=k\frac{Q}{R},\qquad (1)\] где \(k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\). Поэтому разность потенциалов между кольцами равна \[\Delta\varphi=2k\frac{Q}{R}.\qquad (2)\] Тогда электрический заряд каждого кольца равен (из определения емкости конденсатора): \[C=\frac{Q_1}{\Delta\varphi}\ \Rightarrow\ Q_1=C\Delta\varphi=\frac{2kC}{R}Q.\qquad (3)\]
2. Так как верхний сосуд заземлен, то потенциал всех его точек (в том числе и капель) равен нулю. Потенциал капли равен сумме потенциалов поля, создаваемых зарядом на ближайшем кольце, и поля, создаваемого зарядом на самой капле. Потенциал поля кольца в точке нахождения капли легко определить, используя принцип суперпозиции: \[\varphi_1=k\frac{Q_1}{\sqrt{r^2+h^2}}.\qquad (4)\] Такой же по модулю (но противоположный по знаку) потенциал создается зарядом на капле \[\varphi_1=k\frac{q}{a}.\qquad (5)\] Приравнивая эти выражения, находим заряд капли \[q=\frac{a}{\sqrt{r^2+h^2}}\,Q_1=\frac{a}{\sqrt{r^2+h^2}}\cdot\frac{2kC}{R}\,Q.\qquad (6)\] Из этой формулы следует, что безразмерный коэффициент пропорциональности между зарядом капли и зарядом сосуда равен \[\alpha=\frac{a}{\sqrt{r^2+h^2}}\cdot\frac{2kC}{R}.\qquad (7)\]
3. Пусть после попадания \((N-1)\) капель заряд сосуда равен \(Q_{N-1}\), тогда после падения очередной капли заряд сосуда станет равным \[Q_N=Q_{N-1}+q=Q_{N-1}+\alpha Q_{N-1}=\left(1+\alpha\right)Q_{N-1}.\qquad (8)\] Из этого выражения следует, что заряд сосуда возрастает в геометрической прогрессии, поэтому \[Q_N=\left(1+\alpha\right)^N Q_0.\qquad (9)\]
зад 3 Диск на рельсах
Массивный однородный диск 1 радиуса \(R\) может скользить по двум узким горизонтальным параллельным рельсам 2 и 3. Диск опирается на рельсы своими краями. Коэффициент трения диска о рельсы равен \(\mu\). По бокам рельсов расположены упорные стенки 4 и 5, не позволяющие диску соскользнуть с рельсов. Трением диска об эти упорные стенки можно пренебречь.
Часть 1. Динамика вращательного движения.
Пусть ось диска удерживается неподвижной, при этом диск вращается, опираясь на рельсы. Диск раскрутили до угловой скорости \(\omega_0\) и положили на рельсы. Обозначим скорость крайних точек диска относительно его центра \(v=\omega R\).
1.1 Покажите, что изменение модуля скорости крайних точек диска описывается уравнением \[\frac{\Delta v}{\Delta t}=-4\,\frac{F_{тр.}}{m},\qquad (1)\] где \(F_{тр.}\) – сила трения, действующая на диск со стороны одного рельса, \(m\) – масса диска. Это уравнение описывает изменение скорости вращательного движения и в случае наличия поступательного движения.
Подсказка: кинетическая энергия диска, вращающегося вокруг собственной оси с угловой скоростью \(\omega\) равна \[E_{кин.}=\frac{mR^2\omega^2}{4}=\frac{mv^2}{4}.\qquad (2)\]
1.2 Найдите, за какое время угловая скорость диска уменьшится в два раза.
1.3 Найдите, сколько оборотов сделает диск до полной остановки.
Часть 2. Движение диска по рельсам.
Далее считаем, что диск может двигаться поступательно по рельсам. Диск раскручивают до угловой скорости \(\omega_0\) вокруг его оси, аккуратно кладут на рельсы и сообщают скорость \(V_0=2\omega_0R\), направленную вдоль рельсов.
2.1 Нарисуйте схематические графики зависимости модулей скорости поступательного движения \(V\) и скорости вращательного движения относительно оси \(v=\omega R\) от времени.
2.2 Через какое время после начала движения скорости поступательного \(V\) и вращательного движения \(v\) станут равными?
2.3 Рассчитайте среднее ускорение оси диска после того, как скорости поступательного и вращательного движения стали равными.
2.4 Найдите, какой полный путь пройдет диск до остановки (ответ выразите через \(V_0\) и \(\mu\)).
▶ПодсказкаСкрыть
Работа силы трения при вращении диска: изменение кинетической энергии за малый промежуток времени; дальше — линейное уменьшение угловой скорости. Для части 2 важно, что при \(V>v\) и \(V<v\) силы трения с разных рельсов направлены по-разному; при выравнивании скоростей средние ускорения обеих скоростей одинаковы.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=-4\dfrac{F_{тр.}}{m}\); 1.2) \(t_{1/2}=\dfrac{\omega_0R}{4\mu g}\); 1.3) \(N=\dfrac{R\omega_0^2}{8\pi\mu g}\); 2.1) графики — см. решение; 2.2) \(t_1=\dfrac{\omega_0R}{\mu g}\); 2.3) \(\langle a\rangle=\dfrac{2}{3}\mu g\); 2.4) \(S=\dfrac{9V_0^2}{16\mu g}\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Динамика вращательного движения.
1.1 Уравнение (1) можно получить различными способами. Например, рассмотрим малый промежуток времени \(\Delta t\). Изменение кинетической энергии диска равно работе силы трения, поэтому \[\Delta\left(\frac{mv^2}{4}\right)=-2F_{тр.}\,v\,\Delta t.\qquad (1)\] Изменение кинетической энергии за малый промежуток времени преобразуем следующим образом \[\Delta\left(\frac{mv^2}{4}\right)=\frac{m}{4}\left(\left(v+\Delta v\right)^2-v^2\right)=\frac{m}{2}\,v\,\Delta v,\qquad (2)\] мы пренебрегли малым слагаемым \((\Delta v)^2\). Подстановка этого выражения в уравнение (1) приводит к требуемому результату \[\frac{\Delta v}{\Delta t}=-4\frac{F_{тр.}}{m}.\qquad (3)\]
1.2 В рассматриваемом случае \[F_{тр.}=\frac{1}{2}\mu mg.\qquad (4)\] Поэтому \[R\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=-2\mu g.\qquad (5)\] Так как угловое ускорение постоянно, то угловая скорость изменяется по закону \[\omega=\omega_0-2\frac{\mu g}{R}\,t.\qquad (6)\] Из этой функции находим время, за которое угловая скорость уменьшается вдвое: \[\frac{\omega_0}{2}=\omega_0-2\frac{\mu g}{R}t\ \Rightarrow\ t_{1/2}=\frac{\omega_0R}{4\mu g}.\qquad (7)\]
1.3 Полное число оборотов до остановки проще выразить из уравнения (1): \[\frac{mR^2\omega_0^2}{4}=\mu mg\cdot\left(2\pi RN\right)\ \Rightarrow\ N=\frac{R\omega_0^2}{8\pi\mu g}.\qquad (8)\]
Часть 2. Движение диска по рельсам.
2.1 Сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости точек соприкосновения тел. Поэтому направления сил трения, действующих на диск со стороны разных рельсов, зависят от соотношения между скоростями поступательного \(V\) и вращательного \(v\) движения крайних точек диска. Если \(V>v\), то эти крайние точки движутся в одну сторону, поэтому обе силы трения направлены в сторону, противоположную вектору \(\vec V\). В этом случае скорость поступательного движения будет уменьшаться по закону \[V=V_0-a_1t=V_0-\mu g t,\qquad (9)\] здесь обозначено \(a_1=\mu g\) – модуль ускорения для поступательного движения. Так как силы трения направлены в одну сторону, то суммарный момент силы трения равен нулю, поэтому угловая скорость вращения изменяться не будет. Иная ситуация реализуется при \(V<v\). В этом случае силы трения, действующие на крайние точки диска, будут направлены в противоположные стороны. Тогда скорость поступательного движения изменяться не будет, а скорость вращательного движения будет изменяться в соответствии с формулой (6): \[\omega=\omega_0-2\frac{\mu g}{R}t\ \Rightarrow\ v=\omega_0R-a_2t=\omega_0R-2\mu g t.\qquad (10)\] Здесь \(a_2=2\mu g\) – модуль ускорения вращательного движения. Движение с точным совпадением скоростей \(V=v\) невозможно. Поэтому при \(V\approx v\) движение диска будет носить более сложный характер: в малые промежутки времени при \(V>v\) будет уменьшаться скорость поступательного движения (а вращательного сохраняться), в другие промежутки времени при \(V<v\) будет сохраняться скорость поступательного движения, а скорость вращательного движения уменьшаться. Такое попеременное движение усреднено можно представить, как движение с некоторым средним ускорением.
На основании проведенных рассуждений графики зависимости скоростей от времени будет иметь вид: в течение некоторого промежутка времени \(t_1\) скорость поступательного движения будет уменьшаться, а скорость вращательного движения оставаться неизменной, после того, как эти скорости выровняются, обе скорости будут уменьшаться с одинаковым средним значением.
2.2 Время выравнивания скоростей легко определить из закона изменения скорости поступательного движения (9): \[\omega_0R=V_0-\mu g t_1\ \Rightarrow\ t_1=\frac{V_0-\omega_0R}{\mu g}.\qquad (11)\]
2.3 Для расчета среднего ускорения при \(V\approx v\) примем следующую модель: пусть скорость поступательного движения превышает скорость вращательного движения на малую величину \(\Delta V\), тогда эта скорость уменьшается с ускорением \(a_0\) и достигает некоторого значения \(v-\Delta v\) (на этом этапе скорость вращательного движения остается неизменной \(v\)) – длительность этого этапа \[\tau_1=\frac{\Delta V+\Delta v}{a_1}.\qquad (12)\] Скорость вращательного движения превысила скорость поступательного на величину \(\Delta v\), поэтому она станет уменьшаться с ускорением \(a_1\) и достигнет значения \(V-\Delta V\), что произойдет за время \[\tau_2=\frac{\Delta v+\Delta V}{a_2}.\qquad (13)\] Таким образом, за время \((\tau_1+\tau_2)\) обе скорости уменьшились на величину \((\Delta V+\Delta v)\). Поэтому средние ускорения оказываются одинаковыми и равными \[\langle a\rangle=\frac{\Delta V+\Delta v}{\tau_1+\tau_2}=\frac{a_1a_2}{a_1+a_2}=\frac{2}{3}\mu g.\qquad (14)\]
2.4 Теперь путь, который пройдет диск до остановки, легко рассчитать по известной кинематической формуле \[S=\frac{V_0^2-\left(\dfrac{V_0}{2}\right)^2}{2\mu g}+\frac{\left(\dfrac{V_0}{2}\right)^2}{2\cdot\dfrac{2}{3}\mu g}=\frac{9}{16}\,\frac{V_0^2}{\mu g}.\qquad (15)\]
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2022/23, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.