Векторная кинематика

Положение при равноускоренном движении линейно по \(\vec v_0\) и по \(\vec g\): по двум известным смещениям (за 1 с и за 4 с) можно выразить оба вектора.

1) \(\vec g=(2;-4)\) м/с², \(g\approx4{,}5\) м/с²; 2) \(\vec v_0=(0;6)\) м/с, \(v_0=6{,}0\) м/с; 3) точка падения \((28;\,11)\) м (в клетках бланка); 4–7) положения через 1 с: \((3;31),(4;35),(7;35),(12;31),(19;23),(28;11)\); линия горизонта перпендикулярна \(\vec g\) и проходит через точку падения.

Задача допускает как графическое, так и алгебраическое решение (для его реализации бланк можно оцифровать). Мы будем использовать оба подхода. Для сокращения записей компоненты векторов (метрах, или «клеточках») будем записывать в скобках, например, положение тела в момент времени \(t_0 = 0\): \(\vec{r}_0 = (3, 31)\). Для всех векторов (перемещений, скоростей, ускорения) будем использовать систему единиц СИ.

1 Так как движение является равноускоренным, то векторы перемещений тела из положения в момент времени \(t_0 = 0\) за время \(t\) описываются формулой:

\[\Delta\vec{r} = \vec{v}_0 t + \frac{1}{2} \vec{g} t^2\tag{1}\]

Для моментов времени \(t_1 = 1{,}0\text{c}\) и \(t_4 = 4{,}0\text{c}\) можно записать:

\[\begin{cases} \Delta\vec{r}_{01} = \vec{v}_0 t_1 + \frac{1}{2} \vec{g} t_1^2 \\ \Delta\vec{r}_{04} = \vec{v}_0 t_4 + \frac{1}{2} \vec{g} t_4^2 \end{cases}\tag{2}\]

Это система уравнений относительно неизвестных векторов ускорения и начальной скорости имеет решение

\[\begin{cases} \Delta\vec{r}_{01} = \vec{v}_0 t_1 + \frac{1}{2} \vec{g} t_1^2 \\ \Delta\vec{r}_{04} = \vec{v}_0 t_4 + \frac{1}{2} \vec{g} t_4^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{\Delta\vec{r}_{01}}{t_1} = \vec{v}_0 + \frac{1}{2} \vec{g} t_1 \\ \frac{\Delta\vec{r}_{04}}{t_4} = \vec{v}_0 + \frac{1}{2} \vec{g} t_4 \end{cases} \Rightarrow \frac{1}{2} \vec{g} (t_4 - t_1) = \frac{\Delta\vec{r}_{04}}{t_4} - \frac{\Delta\vec{r}_{01}}{t_1} \Rightarrow\]

\[\vec{g} = \frac{2}{t_4(t_4 - t_1)} \Delta\vec{r}_{04} - \frac{2}{t_1(t_4 - t_1)} \Delta\vec{r}_{01}\tag{3}\]

Подстановка численных значений времен дает следующие значения искомых векторов

\[\vec{g} = \frac{2}{t_4(t_4 - t_1)} \Delta\vec{r}_{04} - \frac{2}{t_1(t_4 - t_1)} \Delta\vec{r}_{01} = \frac{1}{6} \Delta\vec{r}_{04} - \frac{2}{3} \Delta\vec{r}_{01} = \frac{\Delta\vec{r}_{04} - 4\Delta\vec{r}_{01}}{6}.\tag{4}\]

Эти векторы можно построить на бланке (см. рис.). Там же указан вектор \(\vec{S}_1\) Можно также найти численные значения их компонент (в изображенной системе координат):

\[\begin{cases} \vec{r}_0 = (3, 31) \\ \vec{r}_1 = (4, 35) \\ \vec{r}_4 = (19, 23) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \Delta\vec{r}_{01} = \vec{r}_1 - \vec{r}_0 = (1, 4) \\ \Delta\vec{r}_{04} = \vec{r}_4 - \vec{r}_0 = (16, -8) \end{cases} \Rightarrow \vec{g} = \frac{\Delta\vec{r}_{04} - 4\Delta\vec{r}_{01}}{6} = (2, -4)\tag{5}\]

Модуль вектора ускорения равен

\[g = \sqrt{2^2 + 4^2} = 4{,}5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\tag{6}\]

2. Вектор скорости \(\vec{v}_0\) можно выразить из первого уравнения системы (2):

\[\Delta\vec{r}_{01} = \vec{v}_0 t_1 + \frac{1}{2} \vec{g} t_1^2 \quad \Rightarrow \quad \vec{v}_0 = \frac{\Delta\vec{r}_{01}}{t_1} - \frac{1}{2} \vec{g} t_1.\tag{7}\]

Тогда требуемый вектор

\[\vec{S}_2 = \vec{v}_0 t_1 = \Delta\vec{r}_{01} - \frac{1}{2} \vec{g} t_1^2 = \Delta\vec{r}_{01} - \frac{1}{2} \vec{S}_1\tag{8}\]

Построение этого вектора также показано на рисунке.

Численные значения его компонент:

\[\vec{S}_{2} = \frac{\Delta \vec{r}_{01}}{t_{1}} - \frac{1}{2} \vec{g} t_{1} = (0, 6).\tag{9}\]

Модуль вектора скорости, очевидно, равен \(v_{0} = 6{,}0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\).

3. Используя закон равноускоренного движения (1), положение объекта в произвольный момент времени можно описать формулой

\[\vec{r} = \vec{r}_{0} + \vec{v}_{0} t + \frac{1}{2} \vec{g} t^{2} = \vec{r}_{0} + \vec{S}_{2} \frac{t}{t_{1}} + \frac{1}{2} \left( \frac{t}{t_{1}} \right)^{2} \vec{S}_{1}.\tag{10}\]

Так в момент падения \(t = 5{,}0\)с радиус-вектор объекта равен

\[\vec{r}_{5} = \vec{r}_{0} + 5 \vec{S}_{2} + \frac{25}{2} \vec{S}_{1} = (28, 11)\tag{11}\]

4. Линия горизонта перпендикулярна вектору ускорения \(\vec{g}\) (или \(\vec{S}_{1}\)) и проходит через точку падения. На рисунке – жирная двойная линия.

5. Расчет координат остальных точек выполняется аналогично, как графически, так и алгебраически. Отметим, что приведенная формула (10) справедлива как для положительных, так и для отрицательных времен. Построения этих точек показаны на рисунке. В таблице приведены рассчитанные значения координат.

6. Определение точки вылета может быть проведено различными способами. Простейший из них – формально отметить точку траектории, соответствующую моменту времени \(t = -3{,}0\)с, заметить, что она лежит ниже линии горизонта. На интервале времени \([-3, -2]\) участок траектории приближенно можно считать отрезком прямой линии. Поэтому точка вылета есть точка пересечения указанного отрезка траектории с линией горизонта – точка \(E\) на рисунке.

Более точным является следующий способ. Траектория движения симметрична относительно вертикали на всех уровнях. Поэтому проведем через первую точку \(O\) прямую \(OA\), параллельную линии горизонта и через ее середину проведем перпендикуляр \(BC\). Эта прямая является осью симметрии параболы (траектории). Поэтому расстояние от точки вылета \(E\) до основания перпендикуляра \(C\), на таком же расстоянии, что и точка падения \(D\).

7. Положения вершины параболы с требуемой точностью можно указать и «на глаз» - точка \(F\)!

Бланк 1.

Бланк 2

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.