Казалось бы, при чём здесь π?

На гладком горизонтальном столе покоятся два маленьких бруска, массы которых равны \(m_1 = 1\) кг и \(m_2 = 10^N\) кг, где \(N\) — некоторая константа. В момент времени \(t = 0\) второму бруску сообщают скорость \(v_0\) (см. рисунок). Столкновения брусков друг с другом и со стенкой в процессе дальнейшего движения считаются абсолютно упругими.

Пусть ось \(OX\) направлена вправо, координата стенки равна нулю. Проследим за движением брусков, рассмотрев зависимость \(x_2(x_1)\) — координаты второго бруска в некоторый момент времени от координаты первого в тот же момент. Положению брусков, при котором их координаты равны \(x_1\) и \(x_2\), соответствует точка \(M\) с координатами \((x_1, x_2)\). Со временем координаты брусков изменяются, а точка \(M\) движется по плоскости \(X_1OX_2\).

1. [a)] Найдите скорость точки \(M\) в момент, когда проекции скоростей брусков на ось \(OX\) равны \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. Какой угол составляет вектор скорости точки \(M\) с осью \(OX_1\)? Нарисуйте траекторию движения точки \(M\) по плоскости \(X_1OX_2\) для значений масс \(m_1 = m_2 = 1\) кг (\(N = 0\)).

Введём в рассмотрение координаты \((\tilde x_1, \tilde x_2)\), связанные с координатами \((x_1, x_2)\) формулами \(\tilde x_1 = \sqrt{m_1}\,x_1\) и \(\tilde x_2 = \sqrt{m_2}\,x_2\). Положению брусков, при котором их координаты равны \(x_1\) и \(x_2\), соответствует точка \(\tilde M\) с координатами \((\tilde x_1, \tilde x_2)\) на плоскости \(\tilde X_1O\tilde X_2\).

2. [b)] Воспользовавшись законом сохранения энергии, покажите, что величина скорости точки \(\tilde M\) сохраняется при абсолютно упругом ударе брусков.

   Пусть за мгновение перед столкновением брусков острый угол между прямой, задаваемой уравнением \(\tilde x_2 = \dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}\,\tilde x_1\), и скоростью точки \(\tilde M\) равен \(\alpha\). Используя законы сохранения импульса и энергии, докажите, что после столкновения брусков острый угол между прямой \(\tilde x_2 = \dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}\,\tilde x_1\) и скоростью точки \(\tilde M\) также равен \(\alpha\).

3. [c)] На каком расстоянии от стенки произойдёт пятое столкновение брусков, если параметр \(N\) равен 2?

4. [d)] Сколько раз столкнётся брусок массой \(m_1\) с бруском массой \(m_2\) и стенкой при \(N = 4\)?