Звук бутылки

Подсказка

Воздух в горлышке — колеблющаяся масса, а воздух в остальной части бутылки — пружина (при быстрых колебаниях адиабатическая). Получите частоту через объём воздуха и выберите такие координаты, в которых данные ложатся на прямую.

Ответ

\(f\propto(V_0-V)^{-1/2}\); по данным \(T^2=1/f^2=48\text{ мс}^2-V\cdot48\text{ мс}^2/\text{л}\), то есть \(f=\left(48\text{ мс}^2-V\cdot48\text{ мс}^2/\text{л}\right)^{-1/2}\).

Решение

i) Для однолитровой бутылки можно получить следующие частоты; измеренная частота звука сведена в таблицу в зависимости от объёма воды в бутылке.

ii) Воздух в области горлышка бутылки объёма \(v\ll V_0=1\text{ л}\) можно считать массой \(m=\rho_av\) (\(\rho_a\) — плотность воздуха), которая может двигаться туда и обратно, а воздух внутри основного объёма бутылки служит пружиной. Если воздух в горлышке сместится на расстояние \(x\), объём внутри бутылки изменится на \(Ax\), где \(A\) — площадь поперечного сечения горлышка. Процесс быстрый, характерное время порядка нескольких миллисекунд, поэтому его можно считать адиабатическим (характерное время термализации порядка секунды). Из \(pW^\gamma=\text{const}\) (где \(W=V_0-V\) — объём воздуха внутри бутылки) получаем \(\ln p+\gamma\ln W=\text{const}\), откуда \(\dfrac{\Delta p}p+\gamma\dfrac{\Delta W}W=0\), то есть \[\Delta p=-\gamma p\frac{\Delta W}W=\gamma p\frac{Ax}W.\] Теперь можно записать уравнение движения воздуха в горлышке: \[\rho_av\ddot x=-\Delta p\,A=-x\,\gamma p\frac{A^2}W,\] откуда частота \[f=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{\gamma pA^2}{\rho_avW}}=\frac1{2\pi}\sqrt{\gamma\frac{RT}\mu\frac{A^2}{v(V_0-V)}}.\]

iii) Исходя из предыдущего результата, видим, что квадрат периода \[T^2=4\pi^2\frac{\mu}{\gamma RT}\frac{v(V_0-V)}{A^2}\] — линейная функция объёма воды.

По данным измерений вычисляем квадрат периода (в мс\(^2\)).

Эти данные изображены на графике ниже (по горизонтали — \(V\) в мл, по вертикали — \(T^2\) в мс\(^2\)).

Линейная аппроксимация этих данных даёт \[T^2=48\text{ мс}^2-V\cdot48\text{ мс}^2/\text{л},\] так что \[f=\left(48\text{ мс}^2-V\cdot48\text{ мс}^2/\text{л}\right)^{-1/2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.