Давление насыщенного пара воды

Подсказка

Небольшой воздушный пузырёк, запертый между додеканом и штифтом, служит манометром: при вытягивании поршня давление в нём падает, а пузырёк растёт по закону Бойля — Мариотта. Когда на границе вода — додекан в шприце начнёт образовываться пар, пузырёк расти перестанет, и давление в нём окажется равным давлению насыщенного пара.

Ответ

\(p_{\text{нас}}=p_{\text{атм}}\,\dfrac{l_0}{l_1}\); в приведённом примере \(l_0=14{,}5\) мм, \(l_1=660\) мм, \(p_{\text{атм}}=101\) кПа, \(p_{\text{нас}}\approx2{,}2\) кПа.

Решение

Если давление над жидкостью снизить ниже давления её насыщенного пара, жидкость начинает кипеть. Используем это, чтобы измерить \(p_{\text{нас}}\) косвенно.

Основная идея. Использовать запертый воздушный пузырёк как манометр. Если удастся запереть небольшой воздушный пузырёк где-то в трубке, отметить его начальную длину \(l_0\) при атмосферном давлении, а затем понизить давление в пузырьке, длина пузырька вырастет. Так как сечение трубки однородно, давление в пузырьке определяется законом идеального газа (изотермическое расширение): \[p_{\text{пуз}}=p_{\text{атм}}\,\frac{l_0}{l_1}.\] Если уменьшать давление в воздушном пузырьке, вытягивая поршень шприца, додекан передаёт пониженное давление от воздушного пузырька по трубке к границе вода — додекан внутри шприца. Когда давление там падает до \(p_{\text{нас}}\), на границе начинают образовываться пузырьки водяного пара, которые растут и сливаются. С этого момента дальнейшее вытягивание шприца уже не снижает давление в воздушном пузырьке: любое дальнейшее падение давления тут же компенсируется дополнительным испарением на границе. Поэтому, когда воздушный пузырёк перестаёт расти в ответ на вытягивание шприца, имеем \(p_{\text{пуз}}=p_{\text{нас}}\) (плюс небольшая гидростатическая поправка, если трубка не лежит горизонтально; см. ниже).

Зачем додекан. Додекан служит несжимаемым нелетучим «поршнем» между шприцем и воздушным пузырьком. Додекан гидрофобен, не растворяет воду и при комнатной температуре имеет пренебрежимо малое давление насыщенного пара (как сказано в условии). Он также легче воды, поэтому вода остаётся под додеканом в любой покоящейся конфигурации.

В условии предупреждается, что вода не должна касаться внутренней поверхности трубки, потому что следы воды адсорбируются на пластике. Когда давление в трубке затем падает ниже \(p_{\text{нас}}\), эти адсорбированные следы вскипают, образуя ряд мелких пузырьков вдоль трубки. Каждый такой пузырёк тоже расширяется во время измерения, добавляя неконтролируемый объём к газовому столбику и искажая отношение \(l_0/l_1\). Заполнив трубку додеканом до введения какой-либо воды, мы заранее смачиваем внутреннюю поверхность гидрофобной жидкостью, которая не пускает воду к стенке.

Конструкция. Трубка должна быть заполнена додеканом от конца со шприцем до небольшого воздушного пузырька начальной длины \(l_0\approx15\) мм на дальнем конце (закрытом металлическим штифтом). Вода находится в самом шприце, а не в трубке. Воздушный пузырёк не должен быть слишком маленьким (начальная длина станет неточной) и слишком большим: в ходе измерения он расширяется примерно в \(40\) раз (так как \(p_{\text{атм}}/p_{\text{нас}}\approx101/2{,}6\approx39\) при комнатной температуре), так что начальный пузырёк в 15 мм расширяется до \(\approx0{,}6\) м, спокойно помещаясь в трубку длиной 1,5 м. Любые дополнительные воздушные пузырьки в другом месте трубки или в шприце тоже расширялись бы в ходе измерения, искажая результат или не давая достичь \(p_{\text{нас}}\) при полном ходе поршня шприца.

О положении трубки. Плотность додекана \(\approx750\) кг/м\(^3\), поэтому вертикальный столб додекана высотой 1,5 м создаёт гидростатическую разность давлений \(\rho gh\approx11\) кПа — в несколько раз больше измеряемого \(p_{\text{нас}}\approx2{,}6\) кПа. Поэтому трубку нужно класть горизонтально, иначе гидростатическая поправка будет доминировать в результате.

Подготовка.

• Соединить шприц с трубкой.

• Опустить дальний конец трубки в ёмкость с додеканом и вытянуть поршень шприца; додекан заполняет трубку.

• Поднять дальний конец трубки из додекана и втянуть небольшое количество воздуха, образовав на дальнем конце воздушный пузырёк начальной длины \(l_0\approx15\) мм.

• Плотно закрыть дальний конец трубки металлическим штифтом.

• Отсоединить шприц (держа поршень на месте, чтобы воздух не вошёл в шприц с открытого конца).

• Втянуть в шприц небольшое количество воды (\(\sim1\) мл).

• Снова присоединить шприц к трубке (небольшой воздушный пузырёк у соединения Люэра допустим, но его нужно свести к минимуму).

В этот момент от конца со шприцем к дальнему концу: шприц (с водой) — граница вода — додекан у соединения Люэра — додекан, заполняющий трубку — воздушный пузырёк на дальнем конце — закрывающий металлический штифт.

Измерение.

• Положить трубку горизонтально, чтобы избежать гидростатической поправки в столбе додекана.

• Измерить начальную длину пузырька \(l_0\). Записать атмосферное давление \(p_{\text{атм}}\) и комнатную температуру \(T_{\text{комн}}\), которые сообщает дежурный.

• Медленно тянуть поршень шприца. Пузырёк растёт по мере падения давления. Продолжать до тех пор, пока пузырёк не перестанет расти (предел, где \(p_{\text{пуз}}=p_{\text{нас}}\)). Зафиксировать поршень в этом положении.

• Измерить конечную длину пузырька \(l_1\).

Типичные значения: \(l_0\approx15\) мм, \(l_1\approx400\)–\(800\) мм (в зависимости от комнатной температуры; при \(T=22\,^\circ\text{C}\), \(p_{\text{нас}}\approx2{,}6\) кПа, отношение \(l_1/l_0\approx101/2{,}6\approx39\), так что \(l_1\approx580\) мм).

Вычисление. Из закона идеального газа при постоянной температуре \[p_{\text{нас}}=p_{\text{атм}}\,\frac{l_0}{l_1}.\] При \(l_0=14{,}5\) мм, \(l_1=660\) мм, \(p_{\text{атм}}=101\) кПа: \[p_{\text{нас}}=101\cdot\frac{14{,}5}{660}\approx2{,}2\text{ кПа}.\] Главный источник систематической погрешности. Неполное насыщение: воде на границе внутри шприца нужно время, чтобы испариться, и если тянуть поршень слишком быстро, давление временно опускается ниже \(p_{\text{нас}}\) (пересыщенный пар). Измеренная \(l_1\) тогда больше истинного равновесного значения, и \(p_{\text{нас}}\) получается заниженным. Способ уменьшить: тянуть медленно и дождаться стабилизации пузырька перед записью \(l_1\).

Второстепенный источник — остаточный воздух: из соединения Люэра, растворённый в додекане, или от следов воды, адсорбированных на стенке трубки (если предварительное смачивание додеканом было несовершенным). Они ведут себя как дополнительный газ в воздушном пузырьке и искусственно занижают видимое \(p_{\text{нас}}\). Тщательная подготовка — заполнение трубки додеканом до попадания воды, расположение границы вода — додекан внутри шприца и отсутствие воздуха у соединения Люэра — сводит это к минимуму.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.