Шаровой магнит

Подсказка

Магнит, лежащий на железном диске, разворачивается осью перпендикулярно диску, а свободный магнит в поле Земли ориентируется вдоль него. Поле Земли оценивается по моменту силы тяжести в момент начала качения шара по наклонной пластине; восприимчивость титана — по предельному отклонению подвеса, при котором магнитная сила (\(\propto r^{-7}\)) ещё удерживает образец.

Ответ

ii) \(B_E=\dfrac{mgr\sin\beta_c}{\mu}\approx51\) мкТл;  iii) \(\chi=\dfrac{4\pi^2\rho_{\text{Ti}}\,g\tan\theta_c\,r_{\min}^7}{3\mu_0\mu^2}\approx1{,}6\times10^{-4}\).

Решение

i) Процедура состоит из двух этапов: (1) найти магнитную ось на поверхности шара и (2) определить, какой конец — N (поле выходит), а какой — S (поле входит).

Этап 1: найти ось. Положим шаровой магнит на плоский железный диск. Магнит намагничивает железо под собой, создавая притягивающий диполь-изображение. Энергия взаимодействия минимальна, когда ось диполя магнита перпендикулярна поверхности железа (так что два диполя выстроены «голова к хвосту»). Поэтому шар перекатывается, пока его ось не окажется направленной прямо вниз на диск. Маркером поставим точку в самой верхней точке шара (там, где ось выходит из верхнего полушария). Затем аккуратно перевернём шар, снова положим на диск и поставим вторую точку в новой самой верхней точке. Две точки диаметрально противоположны и лежат на оси диполя.

Для точной разметки точка должна быть поставлена в пределах \(\sim1\) мм от самой высокой точки шара; на шаре диаметром 10 мм это соответствует угловой точности лучше \(\sim10^\circ\).

Этап 2: определить, какая точка — N. На широте Таллина геомагнитное поле \(\vec B_E\) направлено вниз, в землю (магнитный момент Земли направлен на юг, как сказано в условии, так что её силовые линии в северном полушарии входят в землю). Свободный магнит ориентируется так, что \(\vec\mu_{\text{магн}}\parallel\vec B_E\). Положим шар на плоскую деревянную пластину (вдали от железных предметов). Геомагнитный момент сил поворачивает шар, пока его дипольный момент \(\vec\mu\) не выстроится вдоль \(\vec B_E\) — направлением преимущественно вниз. Шар не скатывается: само \(\vec B_E\) удерживает шар в выстроенной ориентации, поскольку при \(\vec\mu\parallel\vec B_E\) момент сил обращается в нуль.

Полюс N (где \(\vec B\) выходит, «голова» \(\vec\mu\)) тогда оказывается на нижней стороне шара, а полюс S — сверху. Поставьте на направленной вверх точке крестик (\(\times\)): это полюс S, где \(\vec B\) входит. Направленную вниз точку оставьте точкой: это полюс N, где \(\vec B\) выходит.

ii) Идея. Положим шаровой магнит между рейками на деревянной пластине. Пока пластину наклоняют, сила тяжести пытается скатить шар вниз по склону (поворачивая \(\vec\mu\) от \(\vec B_E\)), а \(\vec B_E\) создаёт возвращающий магнитный момент, стремящийся удержать \(\vec\mu\) выстроенным. При критическом наклоне \(\beta_c\) сила тяжести превосходит максимальный возвращающий магнитный момент, и шар начинает катиться. Измерение \(\beta_c\) даёт \(B_E\).

Установка. Крестик на шаре слегка смещён от точной верхней точки, так как \(\vec B_E\) наклонено от вертикали (угол наклонения \(\sim70^\circ\) в Таллине, так что горизонтальная составляющая \(\vec B_E\) не равна нулю и направлена на магнитный север). Ориентируйте пластину так, чтобы небольшое горизонтальное смещение крестика от самой верхней точки было параллельно рейкам. Эквивалентно: рейки должны идти вдоль магнитного меридиана, а ось диполя шара должна лежать в вертикальной плоскости, содержащей \(\vec B_E\) и направление качения.

Процедура.

• Положить пластину горизонтально и дать шару успокоиться: он ориентируется так, что \(\vec\mu\parallel\vec B_E\), а крестик слегка смещён к магнитному югу от самой верхней точки.

• Развернуть пластину (в горизонтальной плоскости) так, чтобы смещение крестика было параллельно рейкам (крестик на равном расстоянии от обеих реек).

• Медленно поднимать один конец пластины. Измерить линейкой превышение \(h\) верхнего конца над нижним; для пластины длины \(L\) угол наклона удовлетворяет \(\sin\beta=h/L\).

• Продолжать наклонять плавно и медленно, пока шар только-только не начнёт скатываться. Записать \(h\) в этот момент.

• Опустить пластину, слегка сместить шар для сброса, дать ему переориентироваться и повторить. Усреднить по многим опытам: показания колеблются из-за небольших вариаций начального выстраивания, трения о рейки и плавности наклона.

Баланс сил (моментов). Непосредственно перед началом качения шар в статическом равновесии между силой тяжести и возвращающим магнитным моментом. Момент силы тяжести относительно центра шара (действующей через линию контакта с рейкой на расстоянии \(r\)) равен \(\tau_g=mgr\sin\beta\), где \(r=d/2\) — радиус шара. Максимальный возвращающий магнитный момент (при \(\vec\mu\perp\vec B_E\)) равен \(\tau_{\text{маг,макс}}=\mu B_E\). Критическое условие: \[\mu B_E=mgr\sin\beta_c,\qquad B_E=\frac{mgr\sin\beta_c}{\mu}.\] Дипольный момент магнита \(\mu=(4\pi r^3/3)B_r/\mu_0=0{,}50\) А\(\cdot\)м\(^2\), масса \(m=\rho_M\cdot(4\pi r^3/3)\approx3{,}93\) г. Поэтому \[\frac{mgr}{\mu}=\frac{3{,}93\times10^{-3}\cdot9{,}8\cdot0{,}005}{0{,}50}\approx385\ \text{мкТл}.\] Измерения. Характерный набор опытов при длине реек \(L=19\) см: Стандартное отклонение показаний \(\sigma_h\approx0{,}12\) см, откуда стандартная ошибка среднего \(\sigma_h/\sqrt{10}\approx0{,}04\) см, или около \(1{,}5\ \%\) от среднего.

При \(\sin\beta_c=h/L=0{,}025/0{,}19\approx0{,}132\): \[B_E=\frac{mgr\sin\beta_c}{\mu}=385\ \text{мкТл}\cdot0{,}132\approx51\ \text{мкТл}.\] Суммарная неопределённость (статистическая от \(\sigma_h\) плюс систематическая от \(\mu\) и \(r\) на уровне нескольких процентов): \(B_E\approx51(3)\) мкТл, в хорошем согласии с известным геомагнитным полем на широте Таллина (\(\sim50\) мкТл).

iii) Установка. Титановый образец висит как маятник на нити длины \(L\), прикреплённой к штативу. Поднесём шаровой магнит к титану так, чтобы один из полюсов касался поверхности титана. Парамагнитный титан притягивается к магниту. Медленно и плавно потянем комбинацию «магнит и титан» горизонтально; маятник отклоняется. При критическом горизонтальном смещении \(x_c\) магнитное притяжение уже не может уравновесить возвращающую силу тяжести, и титан отрывается от магнита и отлетает назад. Измерение \(x_c\) даёт \(\chi\).

Практическое выполнение.

• Держать магнит приклеенным (притянутым) к железному штифту деревянной пластины как держателю, чтобы он всегда был обращён вперёд одним полюсом (а не поворачивался в руке).

• Следить, чтобы полюс магнита всё время касался титана в одной и той же точке (на острие магнита, на оси диполя); небольшой сдвиг вверх или вниз уменьшает магнитную силу.

• Тянуть очень медленно, чтобы система была квазистатической (без инерционных эффектов, \(a\approx0\)).

• Повторить много раз. Принять за результат максимальное наблюдаемое \(x_c\); меньшие показания отражают несовершенное выполнение (ускорение, контакт не на оси и т. п.).

Типичный наблюдаемый диапазон: \(x_c\approx210\)–\(260\) мм.

Физика. Шаровой магнит имеет дипольный момент \(\mu=(4\pi/3)(d/2)^3B_r/\mu_0\approx0{,}50\) А\(\cdot\)м\(^2\). На его оси дипольного момента на расстоянии \(r\) от центра \[B(r)=\frac{\mu_0\mu}{2\pi r^3}.\] В момент контакта с титаном наименьшее расстояние от центра магнита до центра титана \(r_{\min}=(d/2)+d_{\text{Ti}}/2\approx5+1{,}2=6{,}2\) мм. Сила на парамагнитный титан по формуле из условия с \(B^2\propto1/r^6\) и \(|\nabla B^2|=6B^2/r\): \[F_{\text{маг}}=\frac12\,\frac{\chi V_{\text{Ti}}}{\mu_0}\cdot\frac{6B^2(r)}{r}=\frac{3\chi V_{\text{Ti}}\mu_0\mu^2}{4\pi^2r^7}.\] Баланс сил при отрыве. Непосредственно перед отрывом титана угол отклонения маятника \(\theta_c\) удовлетворяет \(\sin\theta_c=x_c/L\), а горизонтальная возвращающая сила равна \(m_{\text{Ti}}g\tan\theta_c\). Приравнивая её максимальной магнитной силе (при \(r=r_{\min}\)): \[m_{\text{Ti}}g\tan\theta_c=\frac{3\chi V_{\text{Ti}}\mu_0\mu^2}{4\pi^2r_{\min}^7}.\] Используя \(m_{\text{Ti}}=\rho_{\text{Ti}}V_{\text{Ti}}\) для сокращения \(V_{\text{Ti}}\): \[\chi=\frac{4\pi^2\rho_{\text{Ti}}\,g\tan\theta_c\,r_{\min}^7}{3\mu_0\mu^2}.\] Численная оценка. Возьмём длину маятника \(L=1{,}0\) м (оценена по штативу) и \(x_c=235\) мм (характерный максимум из многих опытов). Тогда \(\sin\theta_c=0{,}235\), \(\tan\theta_c\approx0{,}242\). При \(\rho_{\text{Ti}}=4500\) кг/м\(^3\): \[\chi\approx\frac{4\pi^2\cdot4500\cdot9{,}8\cdot0{,}242\cdot(6{,}2\times10^{-3})^7}{3\cdot4\pi\times10^{-7}\cdot0{,}5^2}\approx1{,}6\times10^{-4}.\] Это согласуется с литературным значением для чистого титана (\(\chi_{\text{Ti}}\approx1{,}8\times10^{-4}\)) в пределах точности, допускаемой экспериментальными неопределённостями.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.