Магнитный чёрный ящик

Магнитометры, основанные на эффекте Холла, используются в смартфонах для измерения магнитного поля. Магнитометр измеряет все три компоненты магнитного поля. Магнитометр расположен на печатной плате смартфона и не виден снаружи.

На рисунке 1 показан полосовой магнит с полудлиной \(d\) и дипольным моментом \(M\).

Величина магнитного поля полосового магнита в осевом направлении в точке \(P\) (\(B_\text{axial}\)) и в точке \(Q\) на срединном перпендикуляре (\(B_\text{equatorial}\)) задаётся следующими формулами:

\[\begin{align} B_\text{axial}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M r_\text{P}}{(r_\text{P}^2-d^2)^2},\\ B_\text{equatorial}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r_\text{Q}^2+d^2)^{3/2}}. \end{align}\]

где \(\mu_0\) — магнитная постоянная (\(\mu_0/4\pi=10^{-7}\) Н/А\(^2\)), \(r_\text{P}, r_\text{Q}\) — расстояния между центром магнита и точками наблюдения магнитного поля. В данной задаче будем считать магнит точечным диполем (\(d\ll r_\text{P},r_\text{Q}\)).

exe

Симулятор запускается и работает в браузере (предпочтительно Chrome). Необходимо скачать все файлы проекта с гитхаба в одну папку и запустить в браузере файл index.html.

В данной задаче магнит считается точечным диполем.

Погрешности оценивать не требуется.

\(\textbf{О симуляции:}\)

На экране вы видите рабочую область с белым фоном и сеткой. Рабочее поле расположено в вертикальной плоскости, в которой и проводится эксперимент. В рабочей области находятся четыре объекта:

1. смартфон

2. магнит (сине-красный, S-N соответственно)

3. тёмная трубка с однородной толщиной стенок

4. линейка, которая может быть активирована кнопкой <>.

Расстояние между линиями сетки 1 см.

\(\textbf{Установка:}\)

Объекты можно перемещать мышью. Смартфон, линейку, магнит можно поворачивать в этой плоскости. Поворот контролируется слайдерами в правой части. Чтобы повернуть объект, сдвиньте слайдер мышью. Для более точного контроля нажмите на слайдер и используйте стрелки на клавиатуре для поворота объектов.

Внутри смартфона находится магнитометр, который измеряет магнитное поле магнита поблизости. Точное расположение магнитометра неизвестно. В зависимости от положения магнитометра, правая панель показывает проекции \(B_w\) и \(B_l\) магнитного поля вдоль ширины и длины смартфона (рис. 2). Проекция \(B_w\) направлена направо от начальной (портретной, вертикальной) ориентации смартфона. Проекция \(B_l\) направлена вниз вдоль длины телефона.

\(\textbf{Измерения:}\)

После того как вы нажмёте 'START MEASUREMENT', начнут сниматься графики зависимости \(B_w\) и \(B_l\) от времени. 'RESET GRAPH' очистит все значения на графике. При наведении курсора на кривую, показываются значения точек. Можно масштабировать график, указав времена в поля "Graph start time (\(t_i\))" и "Graph end time (\(t_f\))".

Смартфон может повредиться при нахождении в сильном магнитном поле. Для предотвращения этого появляется предупреждение 'Maximum Magnetic field exceeded' и останавливаются измерения, когда измеренное значение превышает 6500 мкТл. Измерения восстанавливаются, когда магнит удаляют от телефона на достаточное расстояние.

\(\textbf{Дальнейшие указания:}\)

Магнит можно перемещать стрелочками клавиатуры. Для этого необходимо кликнуть курсором на рабочее поле. Более плавные/быстрые перемещения можно получить, нажимая на кнопки '2X FINER MAGNET MOVEMENT/2X COARSER MAGNET MOVEMENT' (finer = точные, coarser = грубые). При каждом нажатии на кнопку движения становятся в два раза плавнее/быстрее. Кнопки станут неактивными, когда будет достигнут предел точности регулировки положения.

Ускорение свободного падения направлено вниз экрана. Пол отмечен красной линией. Все объекты находятся в плоскости экрана. Более подробная информация о трубке приведена перед частью (B).

Считайте, что магнит удерживается в стационарном положении, когда вы размещаете его в любом месте экрана. Нажатие на кнопку "Drop" отпустит магнит, и он начнет падать. Обратите внимание, что магнит можно бросить только после нажатия кнопки 'START MEASUREMENT'. Кнопка 'RESET POSITION' вернет магнит в положение, из которого он был брошен в последний раз. При необходимости объекты можно перемещать за пределы рабочей области.

A1. Определите положение магнитометра в смартфоне. Для упрощения ответа на данный вопрос более точная сетка нарисована на схема смартфона в листе ответов. Шаг точной сетки 2 мм. Отметьте положение магнитометра в смартфоне символом "\(\bigotimes\)".

A2. Постройте подходящий линейный график и по нему определите дипольный момент магнита. Занесите использованные данные в таблицу.

Полая немагнитная вертикальная трубка однородной толщины показана на экране. Когда вы бросаете магнит, он должен быть ориентирован вдоль оси трубы. Кнопка "DROP" отпускает магнит. Магнит не видно при движении внутри трубы. Считайте, что магнит не наклоняется и не поворачивается при падении. Трубка состоит из трёх частей: деревянной (wood, W), алюминиевой (Al) с проводимостью \(=3.77\times10^7\) Ом\({}^{-1}\cdot\)м\({}^{-1}\), и медной (Cu) с проводимостью \(=5.96\times10^7\) Ом\({}^{-1}\cdot\)м\({}^{-1}\). Эти три материала могут располагаться в произвольном порядке, не обязательно как указано выше. Если магнит отпустить вертикально (вдоль оси \(y\), направленной вниз), падение магнита описывается уравнением: \[m\ddot{y}=mg-k\dot{y}\]

где \(m\) — масса магнита, \(g\) — ускорение свободного падения (\(g=9.8\) м/с\({}^2\)), \(k\) — коэффициент затухания, обусловленный возникающими вихревыми токам в трубке. Коэффициенты затухания для деревянной, алюминиевой, медной частей трубки равна нулю, \(k_\text{Al}\), и \(k_\text{Cu}\), соответственно.

Таким образом, чтобы провести эксперимент, выполните следующие шаги:

– Расположите должным образом смартфон, магнит и трубку.

– Нажмите кнопку <>.

– Нажмите кнопку <>.

Магнитометр не измеряет малые магнитные поля, создаваемые вихревыми токам в трубке. При падении магнита в трубке строится график зависимости \(B_w\) и \(B_l\) от времени.

B1. Используя график зависимости магнитного поля от времени, определите последовательность материалов вдоль трубки. Укажите свой ответ в листе ответов, напишите номер части возле соответствующего материала. Части нумеруются сверху вниз: 1 для верхней части, 2 для средней, 3 для нижней.

B2. Определите конечную скорость магнита в алюминиевой части трубки, построив соответствующий линейный график.

На листе ответов приведена такая же сетка, как и у рабочей области симуляции. Нарисуйте схематично смартфон, трубку и магнит в том положении и ориентации, которые были в вашем эксперименте. Используйте прямоугольник для указания смартфона.

Заполните таблицу данными, необходимыми для построения графика.

Определите длину алюминиевого участка трубки. Вы можете использовать/не использовать графический метод измерения длины алюминиевой части трубки. Если вы используете график/набор данных для определения длины, воспользуйтесь дополнительными столбцами в таблице для пересчета.

B3. Определите конечную скорость магнита в медной части трубки, построив соответствующий линейный график.

Определите длину медного участка трубки. Вы можете использовать/не использовать графический метод измерения длины медной части трубки. Если вы используете график/набор данных для определения длины, воспользуйтесь дополнительными столбцами в таблице для пересчета.

B4. Определите длину деревянного участка трубки. Вы можете использовать/не использовать графический метод измерения длины деревянной части трубки. Если вы используете график/набор данных для определения длины, воспользуйтесь дополнительными столбцами в таблице для пересчета.