Аналогии

(7 баллов) В вакууме, в области, где нет зарядов и токов, электрическое и магнитное поля описываются одинаковыми с математической точки зрения дифференциальными уравнениями (с точностью до знаков и постоянных множителей), поэтому картины линий этих полей вдали от источников очень похожи. Например, напряжённость поля точечного электрического диполя (\(\vec p = q\vec l\) "— дипольный момент) в точке с радиус-вектором \(\vec r\) даётся формулой \[\vec E(\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac{3\,(\vec p\cdot\vec r)\,\vec r}{r^5} - \frac{\vec p}{r^3}\right),\] которая превращается в формулу для индукции магнитного поля витка с током (магнитного диполя) при замене: \(\vec E \to \vec B\), \(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \to \dfrac{\mu_0}{4\pi}\), \(\vec p \to \vec\mu\); \(\vec\mu = IS\vec n\) "— магнитный момент витка площадью \(S\) с током \(I\), \(\vec n\) "— вектор единичной нормали к плоскости витка.

Рассмотрим соленоид с количеством витков \(N\) (\(N \gg 1\)) длиной \(L\), намотанный достаточно тонким проводом виток к витку на полый цилиндрический немагнитный сердечник с радиусом основания \(R\) (\(R \ll L\)). По виткам соленоида течёт ток \(I\).

A1) (2 балла) На большом расстоянии от витков соленоида его поле эквивалентно полю двух фиктивных магнитных зарядов, расположенных на торцах соленоида. Найдите модуль магнитного заряда \(Q_M\) любого из торцов соленоида.

A2) (3 балла) Чему равна индукция магнитного поля соленоида в точке \(A\) (см. рисунок) на расстоянии \(b\) (\(b \gg R\), \(b \ll L\)) от его оси?

A3) (2 балла) Найдите индукцию магнитного поля соленоида в точке, лежащей вне соленоида на его оси на расстоянии \(h\) (\(R \ll h \ll L\)) от его торца.

(7 баллов) Аналогию можно развить, обратив внимание на то, что напряжённость вихревого электрического поля, порождаемого изменяющимся магнитным полем бесконечного соленоида, на расстоянии, много большем радиуса соленоида, описывается соотношением, очень похожим на формулу \(B(r) = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\) для индукции магнитного поля прямолинейного провода с током \(I\) на расстоянии \(r\) от него.

B1) (1 балл) Найдите напряжённость вихревого электрического поля на расстоянии \(b\) от оси очень длинного цилиндрического соленоида радиусом \(a\) (\(b > a\)), магнитное поле в котором изменяется с известной скоростью \(\dfrac{dB}{dt}\).

Тонкую цилиндрическую трубку с радиусом основания \(r\) и длиной \(2\pi R\) (\(R \gg r\)) из немагнитного материала согнули в кольцо, на которое после намотали \(N\) (\(N \gg 1\)) витков тонкого провода виток к витку, так что получилась тороидальная катушка. Выводы катушки подключили к специальному источнику напряжения, в итоге ток в катушке в зависимости от времени начал изменяться по закону \(I(t) = kt\), где \(k\) "— известная постоянная.

B2) (3 балла) Определите напряжённость вихревого электрического поля в центре тора.

B3) (3 балла) На главной оси тора на расстоянии \(h\) от него (\(h \gg R\)) располагается точечный заряд \(q\). Какая сила действует на заряд со стороны вихревого электрического поля?