Задачи › Магнитный диполь

Магнитные шары

  1. Магнитные шары

    ВсОШ 2014/15, 11 кл.
    8/10

    Поле однородно намагниченного шара радиусом \(R\) на расстояниях \(r \ge R\) от центра шара совпадает с полем точечного диполя \(\vec P_m\), равного полному магнитному моменту шара, расположенного в его центре и направленного от южного (S) к северному (N) магнитному полюсу. Например, магнитное поле Земли хорошо описывается полем точечного магнитного диполя, расположенного в её центре.

    Полный магнитный момент определяется намагниченностью \(\vec p\) вещества, из которого изготовлен шар. По определению, намагниченность — это магнитный момент единицы объёма. Для однородно намагниченного шара намагниченность равна \(\vec p = \vec P_m/V\), где \(V\) — объём шара.

    Если шар изготовлен из магнитожёсткого материала, то можно считать, что под действием внешних магнитных полей его намагниченность не изменяется и шар ведёт себя как жёсткий диполь.

    Электрическим аналогом магнитного шара из магнитожёсткого материала является диэлектрический шар, изготовленный из электрета — материала с «замороженной» поляризацией. Шар, изготовленный из электрета, ведёт себя в электрическом поле точно так же, как и шар с постоянной намагниченностью в магнитном поле. Это означает, что формулы, описывающие взаимодействие постоянных шарообразных магнитов между собой и с магнитным полем, полностью — с точностью до обозначений — идентичны формулам, описывающим поведение электрических диполей в электрическом поле.

    Напомним основные формулы, которые могут вам потребоваться в предлагаемой работе:

    1. Индукция поля \(\vec B\) точечного магнитного диполя \(\vec P_m\) в точке с радиус-вектором \(\vec r\) относительно диполя (система СИ): \[\vec B = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\left(\dfrac{3(\vec P_m,\vec r)}{r^5}\,\vec r - \dfrac{\vec P_m}{r^3}\right),\] где \(\mu_0\) — магнитная константа. Здесь \((\vec a,\vec b)\) — скалярное произведение векторов.

    2. На магнитный диполь \(\vec P_m\) в поле \(\vec B\) действует момент сил: \(\vec M = [\vec P_m,\vec B]\), где \([\vec a,\vec b]\) — векторное произведение.

    3. Энергия диполя \(\vec P_m\) в поле \(\vec B\): \(W = -(\vec P_m,\vec B)\).

    1. Для магнита с диаметром \(d_5 = 15\) мм определите расположение его северного (N) и южного (S) полюсов и подробно опишите способ определения полюсов. Отметьте синим фломастером северный полюс магнита, а красным — южный.

    2. Снимите зависимость максимальной силы притяжения \(F(r)\) от расстояния \(r\) между центрами шаров диаметром \(d = 15\) мм. Опишите метод измерений, результаты измерений занесите в таблицу 1. Считая \(F \sim r^n\), определите \(n\). Сравните результат с теорией. При расчётах считайте, что взаимодействие двух однородно намагниченных шаров можно рассматривать как взаимодействие точечных диполей, расположенных в центрах шаров.

    3. Измерьте максимальную силу сцепления \(F_{ii}\) двух одинаковых шаров с диаметрами \(d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6\), результаты занесите в таблицу 2. Проанализируйте полученные результаты и сравните намагниченности шаров.

    4. Найдите отношение \(p_{20}/p_{10}\) намагниченности \(p_{20}\) шара диаметром \(d_6 = 20\) мм к намагниченности \(p_{10}\) шара диаметром \(d_4 = 10\) мм, внесите результат в таблицу 3.

    5. Найдите отношение \(B_{20}/B_{10}\) величины индукции магнитного поля \(B_{20}\) на полюсе магнита диаметром \(d_6 = 20\) мм к величине индукции магнитного поля \(B_{10}\) на полюсе магнита диаметром \(d_4 = 10\) мм, внесите результат в таблицу 3.

    6. Измерьте максимальные силы сцепления шаров \(F_{ij}\) различных диаметров для всевозможных пар, занесите результаты в таблицу 4.

    7. Выразите максимальную силу сцепления \(F^t_{ij}\) шаров разных диаметров \(d_i\) и \(d_j\), используя значения сил сцепления шаров с одинаковыми диаметрами \(F_{ii}\) и \(F_{jj}\).

    8. Рассчитайте значения \(F^t_{ij}\), результаты занесите в таблицу 5. Сравните полученные расчётные значения силы с экспериментальными, измеренными в пункте 6.

    Оборудование. Шарообразные магниты различных диаметров из магнитожёсткого материала (по паре каждого диаметра): \(d_1 = 3\) мм, \(d_2 = 5\) мм, \(d_3 = 7\) мм, \(d_4 = 10\) мм, \(d_5 = 15\) мм и \(d_6 = 20\) мм, точность измерения диаметров \(d\) — \(0{,}1\) мм; электронные весы (безмен); штатив с закреплёнными уголками с отверстиями; четыре немагнитные чашечки на коромыслах; 8 пластинок толщиной \(h = 1{,}2 \pm 0{,}05\) мм каждая.

    ВНИМАНИЕ. Уважаемые участники олимпиады! Рекомендуем не располагать механические часы вблизи магнитных шариков. Обращаем также ваше внимание на то, что магнитные шарики могут нанести вред в случае защемления участка кожи между двумя шариками.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Шары стремятся развернуться так, чтобы их моменты выстроились вдоль линии, соединяющей центры, и сцепиться разноимёнными полюсами. Сила притяжения при соприкосновении равна показанию весов при отрыве верхнего шара; зависимость от расстояния проверьте в двойном логарифмическом масштабе.

    Ответ

    2) \(n \approx -4{,}23 \pm 0{,}25\) (теория: \(n = -4\));  4) \(p_{20}/p_{10} = 0{,}285 \pm 0{,}010\);  5) \(B_{20}/B_{10} = 0{,}285 \pm 0{,}010\).

    Решение

    1. Если взаимодействующие шары расположить недалеко друг от друга и не препятствовать их свободному вращению, то их магнитные моменты выстроятся вдоль линии, соединяющей центры шаров. Такое расположение соответствует минимуму энергии магнитного взаимодействия. Если шары отпустить, то они сцепятся противоположными полюсами.

    Для определения полюсов шара диаметром \(d_5 = 15\) мм подцепим к его противоположным полюсам два маленьких 3-миллиметровых шарика и положим его на поверхность стола, подальше от магнитных предметов. Шар под действием магнитного поля Земли развернётся так, что один из подцепленных шариков будет смотреть вверх, а другой — вниз (рис. 10). Нижний шарик соответствует северному, а верхний — южному полюсу большого шара: в Екатеринбурге силовые линии магнитного поля наклонены к горизонту вниз. Полюсы помечаем фломастером: синим — северный, красным — южный. Аналогично определяем полюсы остальных шариков.

    Рисунок

    2. Снимаем зависимость силы взаимодействия \(F(r)\) шаров диаметром \(d = 15\) мм от расстояния \(r\) между центрами шаров по схеме рис. 11. Отверстия в чашке и уголке подобраны так, чтобы шары соприкасались полюсами и сила притяжения была максимальной. Опускаем чашечку до соприкосновения верхнего шара с нижним, затем медленно поднимаем её. В момент отрыва верхнего шара от нижнего сила упругости равна нулю, и максимальные показания весов \(M\) соответствуют силе взаимодействия шаров при соприкосновении. Расстояние между шарами меняем, прокладывая между ними \(m\) пластинок толщиной \(h\): \(r = d + mh\). Вес чашки с шаром учитывается обнулением весов. Сила в граммах-силах \(F = M\) (в гс). Результаты (таблица 1): \(r = 15{,}0\) мм, \(F = 2800\) гс; \(r = 16{,}2\) мм, \(F = 2080\) гс; \(r = 17{,}4\) мм, \(F = 1520\) гс; \(r = 18{,}6\) мм, \(F = 1140\) гс; \(r = 19{,}8\) мм, \(F = 865\) гс; \(r = 21{,}0\) мм, \(F = 680\) гс; \(r = 22{,}2\) мм, \(F = 540\) гс; \(r = 23{,}4\) мм, \(F = 430\) гс; \(r = 24{,}6\) мм, \(F = 350\) гс.

    Рисунок

    По графику \(\ln F\) от \(\ln r\) (в двойном логарифмическом масштабе) наклон даёт \(n = -4{,}23 \pm 0{,}25\). Теория: энергия взаимодействия двух сонаправленных точечных диполей \(W = -\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{P_1P_2}{r^3}\), сила \(F = -\dfrac{\partial W}{\partial r} = -\dfrac{3\mu_0}{2\pi}\dfrac{P_1P_2}{r^4}\), то есть теоретическое \(n = -4\). Экспериментальное значение совпадает с теоретическим в пределах погрешности, значит, шары взаимодействуют как жёсткие точечные диполи в центрах. Также прямая \(F(r^{-4})\) проходит через начало координат, что подтверждает теорию.

    3. Измеряем максимальную силу сцепления одинаковых шаров (касание разноимёнными полюсами). Результаты (таблица 2): \(d = 3\) мм: \(F_{11} = 113\) гс; \(d = 5\) мм: \(F_{22} = 305\) гс; \(d = 7\) мм: \(F_{33} = 630\) гс; \(d = 10\) мм: \(F_{44} = 1350\) гс; \(d = 15\) мм: \(F_{55} = 2800\) гс; \(d = 20\) мм: \(F_{66} = 430\) гс.

    Если шары намагничены одинаково и взаимодействуют как точечные жёсткие диполи, то \(F \sim P_m^2/d^4 = p^2 d^2\), и \(\sqrt{F}\) пропорционален \(d\). Точки шаров 1–5 лежат на прямой, проходящей через начало координат, значит, их намагниченность одинакова в пределах точности. Точка шара 6 (d = 20 мм) на этой прямой не лежит: его намагниченность заметно меньше.

    Рисунок

    4. Отношение намагниченностей по графику пункта 3 — как отношение угловых коэффициентов прямых: \[\dfrac{p_{20}}{p_{10}} = \dfrac{k_2}{k_1} = 0{,}285 \pm 0{,}010 .\]

    5. Индукция на полюсе шара пропорциональна его намагниченности и не зависит от радиуса: \(B \sim P_m/R^3 = pV/R^3 \sim p\), поэтому \[\dfrac{B_{20}}{B_{10}} = \dfrac{p_{20}}{p_{10}} = 0{,}285 \pm 0{,}010 .\]

    6. Измерены силы взаимодействия \(F_{ij}\) шаров разных диаметров; вместе с теоретическими значениями \(F^t_{ij}\) они приведены в таблице (таблица 3 официального решения):

    Рисунок

    7. Сила взаимодействия двух шаров разных диаметров \[F_{ij} = -\dfrac{3\mu_0}{2\pi}\dfrac{P_iP_j}{\left(\frac{d_i+d_j}{2}\right)^4} \sim \dfrac{P_iP_j}{(d_i+d_j)^4}.\] Для одинаковых шаров \(F_{ii} \sim P_i^2/(16d_i^4)\), \(F_{jj} \sim P_j^2/(16d_j^4)\). Окончательно \[F^t_{ij} = \sqrt{F_{ii}F_{jj}}\;\dfrac{16\,d_i^2d_j^2}{(d_i+d_j)^4}.\]

    8. По этой формуле рассчитаны \(F^t_{ij}\) и внесены в таблицу. Для большинства ячеек различие экспериментальных и расчётных значений не превышает \(2\)–\(5\%\), в пределах точности измерений эксперимент согласуется с теорией.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх