Кольцо с бусами

Известно, что упругие бусинки одинаковой массы, насаженные на горизонтальную спицу, по которой они могут скользить без трения, в процессе столкновения обмениваются скоростями, что схематично иллюстрирует рисунок ниже.

Пусть на гладкое, расположенное в горизонтальной плоскости кольцо радиусом 1 м, насажены 4 упругие бусинки одинаковой массы (рис. ниже). Положение любой бусинки в любой момент времени определяется углом \(\varphi\), который отсчитывается от линии \(OA\) против часовой стрелки и может принимать значения от \(0^\circ\) до \(360^\circ\). В нулевой момент времени углы, задающие положение бусинок на кольце, равны: \(\varphi_1(0)=0\), \(\varphi_2(0)=90^\circ\), \(\varphi_3(0)=180^\circ\) и \(\varphi_4(0)=270^\circ\). Скорости бусинок в нулевой момент равны: \(v_1=2\pi\text{ м/с}\), \(v_2=0\), \(v_3=\pi\text{ м/с}\), \(v_4=\pi\text{ м/с}\) и направлены так, как показано на рисунке.

1. A1) Если бы второй и четвёртой бусинок не было, то как выглядел бы график зависимости угла \(\varphi_3(t)\), определяющего положение третьей бусинки, от времени для первых двух секунд движения? (1 балл)

   A2) Изобразите график зависимости угла \(\varphi_2(t)\), определяющего положение второй бусинки, от времени для первых двух секунд движения (на кольце четыре бусинки). (3 балла)

2. В какой точке кольца будет находиться через 2 секунды после начала движения первая бусинка? Сколько столкновений она испытает за это время? (2 балла)

3. Верно ли, что углы, характеризующие положение бусинок, а также скорости бусинок через некоторое время \(T\) будут такими же, как в начальный момент? Если да, то найдите время \(T\). (5 баллов)