Измерение скорости света методом Физо

Свет возвращается невидимым, если за время пробега до зеркала и обратно колесо успевает повернуться на «полуцелое» число зубьев; сравните это время с длительностью светового импульса \(\tau\).

2) для колеса 1 интенсивность максимальна при \(n=2k\,\dfrac{c}{4NL}\) и равна нулю при \(n=(2k+1)\dfrac{c}{4NL}\); для колеса 2 максимумы при \(n=3k\,\dfrac{c}{6LN}\), нули при \(\dfrac{c}{6LN}<n<\dfrac{2c}{6LN}\) и далее периодически; 3) \(c=4NLn_1\approx3{,}10\cdot10^{8}\text{ м/с}\).

1. Свет распространяется не мгновенно, а с конечной (хотя и очень большой) скоростью. Зубчатое колесо разбивает световой поток на отдельные «порции» - импульсы. Если за время движения светового импульса от колеса до зеркала и обратно, колесо успеет повернуться на угол одного зубца, то он не сможет пройти через колесо.

2. Рассмотрим сначала прохождение света через колесо типа 1, в котором размеры зубцов и выемок одинаковы. Свет, проходящий через вращающееся колесо, разбивается на импульсы, длительность которых равна

\[\tau = \frac{T}{2N} = \frac{1}{2Nn}.\tag{1}\]

Промежуток времени между импульсами также равен \(\tau\). Эти импульсы возвращаются обратно через время, которое требуется свету для преодоления расстояния от колеса до зеркала и обратно,

\[t_0 = \frac{2L}{c}.\tag{2}\]

На рис. 2 показаны временные диаграммы импульсов, уходящих от колеса (сплошная заливка) и возвращающихся от зеркала (квадратная штриховка). Области их перекрытия определяют промежутки времени, когда возвращающийся свет проходит между зубьев и попадает к наблюдателю. Из рис. 2а видно, что при \(t_0 < \tau\) интервал времени, в котором свет виден, равен \((\tau - t_0)\). Очевидно, что средняя интенсивность пропорциональна промежутку времени в течение, которого свет доходит до наблюдателя. Поэтому в данном случае эта интенсивность оказывается равной

\[\bar{I} = I_0 \frac{\tau - t_0}{2\tau} = \frac{I_0}{2} \left( 1 - \frac{4NL}{c} n \right),\tag{3}\]

где \(I_0\) - интенсивность наблюдаемого света при неподвижном колесе. То есть линейно убывает с ростом частоты вращения. При \(t_0 = \tau\) средняя интенсивность прошедшего света становится равно нулю (см. рис 2b). При \(t_0 > \tau\) возвращающийся импульс начинает попадать в следующий вырез. На этом интервале средняя интенсивность описывается формулой

\[\bar{I} = I_0 \frac{t_0 - \tau}{2\tau} = \frac{I_0}{2} \left( \frac{4NL}{c} n - 1 \right),\tag{4}\]

Т.е. линейно возрастает с ростом частоты вращения. Этот рост будет продолжаться до тех пор, пока \(t_0 < 2\tau\). При дальнейшем росте частоты вращения зависимость будет периодически повторяться. График этой зависимости показан на рис. 2d, на котором \(n_1\) - частота при которой наступает первое полное затемнение. Эта частота может быть найдена из выражения (3):

\[n_1 = \frac{c}{4NL}.\tag{2}\]

Отметим, что все полные затемнения наступаю тогда, когда время распространения светового импульса оказывается равным времени поворота колеса на «полуцелое» число зубьев, т.е.

\[t_0 = (2k+1)\tau \quad \Rightarrow \quad n_{\min} = (2k+1)n_1 = (2k+1)\frac{c}{4NL}.\tag{3}\]

здесь \(k = 0, 1, 2, 3...\).

Максимумы средних интенсивностей наблюдаются при

\[t_0 = 2k\tau \quad \Rightarrow \quad n_{\max} = 2kn_1 = 2k\frac{c}{4NL}.\tag{4}\]

Анализ зависимости средней интенсивности прошедшего света для установки с колесом 2 может быть проведен аналогично.

На рис. 3 показаны такие же, как и на рис. 2, временные диаграммы выходящих после колеса импульсов и импульсов, возвращающихся с задержкой \(t_0\). В этом случае интервал \(\tau\) равен времени в течении которого колесо поворачивается на угол соответствующий повороту на один вырез, т.е.

\[\tau = \frac{1}{3}\frac{T}{N} = \frac{1}{3Nn}.\tag{5}\]

Зависимость средней интенсивности регистрируемого света от времени описывается формулами

\[\bar{I} = \frac{I_0}{3}\frac{\tau - t_0}{\tau} = \frac{I_0}{3}\left(1 - \frac{6LN}{c}n\right), \quad n < \frac{c}{6LN}\]

\[\bar{I} = 0, \quad \frac{c}{6LN} < n < 2\frac{c}{6LN}\]

\[\bar{I} = \frac{I_0}{3}\left(\frac{6LN}{c}n - 2\right), \quad n > 2\frac{c}{6LN}\]

В этом случае максимальная средняя интенсивность наблюдается при

\[n = 3kn_1 = 3k\frac{c}{6LN}, \quad k = 0, 1, 2, \dots\]

3. Из формулы (3) следует, что скорость света может быть выражена следующим образом через параметры системы и результаты измерения

\[n_1 = \frac{c}{4NL} \quad \Rightarrow \quad c = 4NLn_1 = 4 \cdot 720 \cdot 8{,}63 \cdot 10^3 \cdot 12{,}5 = 3{,}10 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{5}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.