Исследовательский зонд

Угловое расстояние до центра планеты максимально, когда луч зрения касается орбиты Болтика. Для зонда спутник обходит свою орбиту равномерно с относительной угловой скоростью \(\omega_\text{с} - \omega_\text{з}\); угол, пройденный за \(t_1\), найдите из геометрии треугольника «зонд — центр — спутник».

Угловое расстояние между Болтиком и центром Шелезяки будет максимальным, когда прямая «зонд-Болтик» станет касательной к орбите спутника. В этом случае \(\sin\theta_{max} = r/R\), откуда \[\frac{R}{r} = \frac{1}{\sin\theta_{max}} \approx 3{,}864.\]

Пусть \(M\) — масса Шелезяки. Угловые скорости движения спутника и зонда, соответственно, равны \[\omega_\text{с} = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}, \quad \omega_\text{з} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} \qquad\Rightarrow\qquad \omega_\text{с} = \omega_\text{з}\left(\frac{R}{r}\right)^{3/2} \approx 7{,}595\,\omega_\text{з}.\] Следовательно, с точки зрения зонда спутник делает один оборот вокруг планеты за время \[T_\text{отн} = \frac{360^\circ}{\omega_\text{с} - \omega_\text{з}} = \frac{360^\circ}{6{,}595\,\omega_\text{з}} = \frac{T}{6{,}595}.\]

Чтобы найти \(T_\text{отн}\), сделаем чертёж (см. рис.), где точка \(O\) — центр планеты, точка \(S\) — исследовательский зонд, а нарисованная окружность — орбита Болтика. В точках \(A\) или \(C\) спутник находится на краю видимого диска планеты, а точка \(B\) соответствует максимальному угловому расстоянию между центром Шелезяки и Болтиком (при наблюдении с зонда). Из геометрии рисунка \(\angle ASB = \theta_{max} - \theta_0 = 12^\circ\), \(\angle ODA = 90^\circ + \angle ASB = 102^\circ\). По теореме синусов для треугольника \(\triangle SOA\) \[\frac{R}{\sin(\angle OAS)} = \frac{r}{\sin\theta_0},\]

откуда, учитывая, что \(\angle OAS > 90^\circ\), получим, что \[\sin(\angle OAS) = \frac{R}{r}\cdot\sin\theta_0 = 3{,}864\cdot\sin3^\circ \approx 0{,}202 \qquad\Rightarrow\qquad \angle OAS \approx 168{,}334^\circ.\] Найдём угол \(\angle AOB\): \[\angle AOB = \angle OAS - \angle ODA = 66{,}334^\circ.\] Так как движение по окружности равномерное, \(\angle AOB = 360^\circ t_1/T_\text{отн}\), откуда \[T_\text{отн} = \frac{360^\circ}{66{,}334^\circ}\cdot t_1 \approx 5{,}43\cdot165\text{ мин} \approx 895\text{ мин}.\] С учётом того, что \(T = 6{,}595\,T_\text{отн}\), получим \[T \approx 5900\text{ мин}.\]

Пусть \(R_\text{Ш}\) — радиус Шелезяки, тогда \[\sin\theta_0 = \frac{R_\text{Ш}}{R} \qquad\Rightarrow\qquad R_\text{Ш} = R\sin3^\circ \approx 0{,}0523R.\] Записывая массу планеты как \(M = 4\pi R_\text{Ш}^3\rho/3\) и подставляя её в выражение для угловой скорости движения зонда по орбите, получим \[\omega_\text{з}^2 = \frac{G\cdot 4\pi R_\text{Ш}^3\rho/3}{R^3} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{4\pi G}{3}\cdot\rho\cdot0{,}0523^3,\] откуда \[\rho = \frac{3\pi}{GT^2\cdot0{,}0523^3} \approx 7900\text{ кг/м}^3.\]