Упругий маятник

Подсказка

В положении равновесия момент упругости закрученного шнура уравновешивает момент силы тяжести; для малых колебаний разложите \(\sin(\varphi_0+\delta)\approx\sin\varphi_0+\delta\cos\varphi_0\) — получится уравнение гармонических колебаний.

Ответ

1.1) \(\frac{k}{1-x/l}\,\varphi=-\sin\varphi\), число устойчивых положений \(n_{\max}<\frac{1-x/l}{2\pi k}\); 1.3.2) \(k\approx3{,}5\cdot10^{-3}\); 2.1) \(T_0\) — период колебаний маятника без резинки, \(\gamma=\frac{k}{1-x/l}\); 2.3) \(T_0\approx1{,}04\) с, \(\gamma\approx0{,}022\).

Решение

Часть 1. Положения равновесия.

1.1 В положении равновесия сумма моментов сил упругости и силы тяжести равна нулю, поэтому справедливо уравнение (в СИ)

\[K\varphi = mg(l-x)\sin\varphi_0.\tag{1}\]

Если разделить это уравнение на введенную единицу момента силы \(M_0 = mgl\), то получим

\[k\varphi = (1-\frac{x}{l})\sin\varphi_0\tag{2}\]

В этом уравнении удобно перейти к углу закручивания, делая подстановку \(\varphi_0 = 2\pi n - \varphi\). В результате получим

\[\frac{k}{1-\frac{x}{l}}\varphi = -\sin\varphi\tag{3}\]

Это уравнение допускает простую графическую интерпретацию\(^3\). Построим схематически графики функций \(y_1 = -\sin\varphi\) (перевернутая синусоида) и \(y_2 = \frac{k}{1-\frac{x}{l}}\varphi\) (прямая), которые пропорциональны моментам сил тяжести и упругости. Абсциссы точек пересечения графиков этих функций являются корнями уравнения (3). Не сложно доказать, что, что все «нечетные» положения равновесия являются неустойчивыми (на рис. они отмечены звездочками), поэтому реализовываться могут только «четные» корни (отмеченные кружками). Чтобы оценить число возможных устойчивых положений равновесия, заметим, что при максимальном \(n\), корень близок\(^4\) к \(\overline{\varphi}_n \approx 2\pi n - \frac{\pi}{2}\), поэтому должно выполняться условие

\[\frac{k}{1-\frac{x}{l}}\left(2\pi n - \frac{\pi}{2}\right) < 1,\]

из которого следует оценка

\[n_{\text{max}} < \frac{1-\frac{x}{l}}{2\pi k}.\tag{4}\]

\(^3\) Очевидно, что каждому положительному корню этого уравнения соответствует равный ему по модулю отрицательный корень. Физический смысл этого – можно закручивать в обе стороны, от этого ничего не изменяется! \(^4\) А положение линейки близко к горизонтальному!

1.2 – 1.3 Для определения коэффициента кручения можно воспользоваться уравнением (2). Угол положения равновесия \(\overline{\varphi}_{0n}\) можно рассчитать следующим образом. Из рисунка следует, что

\[\cos \overline{\varphi}_{0n} = \frac{H - h}{l - x}.\tag{5}\]

Здесь все величины легко измеряемы. Так как все углы равновесия меньше прямого, то

\[\overline{\varphi}_{0n} = \arccos \frac{H - h}{l - x}.\tag{6}\]

Соответствующий угол закручивания рассчитывается по формуле

\[\overline{\varphi}_n = 2\pi n - \overline{\varphi}_{0n}.\tag{7}\]

Проведя расчеты по этим формулам можно построить график зависимости момента силы тяжести (и равному ему моменту силы упругости) \(M_1 = \left(1 - \frac{x}{l}\right) \sin \varphi_0\) от угла закручивания \(\varphi\). В соответствии с уравнением (2) эта зависимость имеет вид \(M_1 = k\varphi\), поэтому коэффициент наклона графика этой зависимости равен искомому коэффициенту кручения. Результаты измерений и необходимых расчетов приведены в таблице 1. Для обоснования достоверности проведенного анализа дополнительно проведены измерения и при \(x = 55\) мм.

Таблица 1.

На рисунке показаны графики полученных зависимостей. Видно, что малых углах закрутки зависимости не линейны. Однако уже при \(n > 5\) экспериментальные точки практически точно ложатся на прямые линии. Это подтверждает применимость закона Гука с некоторой постоянной составляющей к моменту сил упругости. Коэффициенты наклона графиков (т.е. коэффициенты кручения), рассчитанные по МНК, оказались равными для \(x = 55\) мм :

\[k = (3{,}47 \pm 0{,}04) \cdot 10^{-3}\]

для \(x = 105\) мм :

\[k = (3{,}53 \pm 0{,}05) \cdot 10^{-3}\]

Таким образом, в пределах погрешностей полученные значения оказались равными.

Заметим, что оценки числа возможных положений равновесий оказываются завышенными. Однако, если уточнить постоянную составляющую в моменте силы, то оценка дает правильный значения числа возможных состояний.

Часть 2. Колебания.

2.1 Теоретический.

Запишем уравнение динамики для маятника (на основе уравнения (1)):

\[I\beta = K\varphi - mg(l - x)\sin\varphi.\tag{5}\]

Здесь \(\beta\) - угловое ускорение, \(I\) - постоянный коэффициент (момент инерции). Так как колебания происходят вблизи положений равновесия, то можно представить

\[\varphi = \varphi_0 + \delta,\tag{6}\]

где \(\varphi_0\) - угол отклонения в положении равновесия, \(\delta(t)\) - малое отклонение от него. Тогда уравнение (5) преобразуется к виду (с учетом \(\sin(\varphi_0 + \delta) \approx \sin\varphi_0 + \cos\varphi_0 \cdot \delta\)):

\[\begin{aligned} I\beta &= K\varphi - mg(l - x)\sin\varphi = \\ &= (K\varphi_0 - mg(l - x)\sin\varphi) + K\delta - mg(l - x)\cos\varphi_0 \cdot \delta. \end{aligned}\tag{7}\]

Первая скобка в данном выражении обращается в нуль, так как определяет условие равновесия, поэтому дальнейшие преобразования очевидны:

\[\beta = - \frac { m g ( l - x ) } { I } \left( \cos \varphi _ { 0 } - \frac { K } { m g l \left( 1 - \displaystyle \frac { x } { l } \right) } \right) \delta \, .\tag{8}\]

Это есть уравнение гармонических колебаний, период которых

\[T = 2 \pi \sqrt { \frac { I } { \displaystyle \frac { m g ( l - x ) } { I } \cdot \frac { 1 } { \displaystyle \cos \varphi _ { 0 } - \frac { K } { \displaystyle m g l \left( 1 - \frac { x } { l } \right) } } } } = \frac { T _ { 0 } } { \displaystyle \sqrt { \cos \varphi _ { 0 } - \frac { k } { \displaystyle 1 - \frac { x } { l } } } } \, .\tag{9}\]

Эта формула совпадает с формулой, приведенной в условии. Величина \(T _ { 0 }\) имеет смысл периода колебаний маятника без резинки, параметр \(\gamma = \frac { k } { \displaystyle 1 - \frac { x } { l } } \, .\)

Полученное выражение допускает простую экспериментальную проверку.

2.2 Измерительный.

Результаты измерений периодов колебаний от числа оборотов закручивания резинки приведены в таблице 3 и на графике. Отметим, что проводить на этом графике сглаживающую кривую смысла нет, так как аргумент этой функции дискретный.

Таблица 3. Периоды колебаний.

2.3 Расчетный.

Для проверки формулы (2) из условия задачи необходимо построить зависимость величины \(T^{-2}\) от \(\cos \varphi_0\). Расчеты этих величин также приведены в Таблице 3. График полученной зависимости показан на рисунке.

Действительно, получилась линейная зависимость. Коэффициенты этой зависимости (\(T^{-2} = a \cdot \cos \varphi_0 + b\)), рассчитанные по МНК оказались равными

\[a = (0{,}92 \pm 0{,}07) c^{-2}\]

\[b = (0{,}02 \pm 0{,}05) c^{-2}\]

Сравнивая с исходной (не линеаризованной) формой уравнения определим искомые параметры

\[T_0 = \frac{1}{\sqrt{a}} = 1{,}04 c, \quad \gamma = \frac{b}{a} = 0{,}022.\tag{10}\]

Отметим, что провести сравнение с теоретическим значением параметра \(\gamma\) не представляется возможным, из-за большой погрешности его экспериментального значения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.