Плодотворная дебютная идея

В круглой комнате радиус нормален к стене, поэтому точка отражения делит дугу между источником и бликом пополам. Среднее время между частицами находите через сумму интенсивностей потоков.

1.1) Минск — 3 мин, Лондон — 2 мин; 1.2) \(h=m/(\rho S)\); 1.3) \(\tau=\tau_1\tau_2/(\tau_1+\tau_2)=6{,}0\) мс; 1.4) у задачи два решения: зеркала \(DC\) и \(D'C'\) с краями на серединах дуг \(SA\) и \(SB\).

Задача 1.1

Отличие Минска от Лондона заключается в нумерации этажей. В Беларуси она начинается с первого этажа, поэтому, когда бабушка поднялась на второй этаж, она преодолела подъем в один этаж. Для подъема на 4 этаж ей надо преодолеть 3 этажа, на что потребуется время – 3 минуты. В Англии нумерация начинается с нулевого этажа (нижний – ground floor). Поэтому, поднявшись на второй этаж, бабушка поднялась на два этажа за одну минуту, а для того, чтобы подняться на 4 этаж, ей надо подняться на 4 этажа, на что потребуется времени в два раза больше, т.е. 2 минуты.

Задача 1.2

Если масса вынутого грунта будет равна массе здания, то нижележащие слои не будут испытывать никакой дополнительной нагрузки при возведении здания. Из этого условия легко определить:

\[m = \rho S h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{m}{\rho S}.\tag{1}\]

Задача 1.3

Легко сообразить, что величина обратная времени между регистрациями \(\frac{1}{\tau}\) имеет смысл среднего числа частиц, попадающих в счетчик за единицу времени (интенсивность потока). Понятно, что именно интенсивности потоков необходимо складывать: если первый источник посылает в единицу времени \(\frac{1}{\tau_1}\) частиц, а второй - \(\frac{1}{\tau_2}\) частиц, то вместе они посылают \(\frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2}\) частиц. Поэтому среднее время между частицами в этом случае будет определяться по формуле

\[\frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2} \quad \Rightarrow \quad \tau = \frac{\tau_1 \cdot \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = 6{,}0 \text{ мс}\tag{2}\]

Можно предложить еще одно наглядное решение этой задачи. Вместо частиц рассмотрим автобусы: автобусы одного маршрута следуют со средним интервалом 10 минут, второго с интервалом 15 минут. Чему равен средний интервал между автобусами двух маршрутов? Решение: за одну минуту приходит 1/10 автобуса первого маршрута и 1/15 автобуса второго. Всего за минуту приходит \(1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6\) часть автобуса. Следовательно, чтобы пришел «целый» автобус необходимо ждать 6 минут.

Задача 1.4

Сначала разберемся с ходом световых лучей при отражении от зеркала. Пусть луч от источника \(S\) попадает в точку \(C\) (в области зеркала), отражается от нее и попадает на стенку в точке \(A\). По закону отражения света угол падения равен углу отражения. Нормалью к точке падения является радиус, поэтому углы \(\angle SCO\) и \(\angle OCA\) равны. Следовательно, точка, в которой произошло отражение, делит дугу \(SA\) на две равные части. Заметим, что в точку \(A\) луч может попасть, отразившись и точке \(C'\) симметричной точке \(C\). Поэтому данная задача имеет два решения!

Края освещенной части соответствую лучам, отраженным от краев зеркальной части. Это позволяет найти края зеркала: делим дуги \(SA\) пополам, находим точки \(C\) и \(C'\); делим дуги \(SB\) - находим точки \(D\) и \(D'\). Эти точки являются краями зеркал \(DC\) и \(D'C'\) - который являются двумя возможными решениями данной задачи. На левом рисунке показан ход лучей от верхнего зеркала, важно отметить, что все отраженные лучи пересекаются в одной точке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.