Ферромагнитная полоска

Показание датчика — сумма смещения \(V_0\), поля Земли и измеряемого поля, поэтому из всех показаний вычитайте показание, снятое без полоски (а у самого магнита — и его поле). Поле \(\vec B\) внутри полоски найдите из теоремы Гаусса для магнитного поля: поток вдоль полоски равен потоку, вышедшему через её поверхности.

i) Мы измерили \(E=3{,}15\text{ В}\).

ii) Повернём датчик белой точкой вверх и измерим \(V_1=1{,}4\text{ мВ}\); затем повернём точкой вниз и измерим \(V_2=-3{,}8\text{ мВ}\).

На напряжение влияют напряжение смещения и вертикальная составляющая магнитного поля Земли \(B_{Ez}\). Магнитное поле Земли влияет на показание, добавляя к нему напряжение \(V_{Ez}=B_{Ez}/a\), где \(a\) — константа. Мы знаем, что если бы напряжение батареек было \(3\text{ В}\), то каждый милливольт соответствовал бы \(10\text{ мкТл}\). Наши батарейки увеличивают масштаб в \(E/3\text{ В}\) раз. Иначе говоря, для перевода из вольт в микротеслы напряжение нужно умножить на \[a=10\ \frac{\text{мкТл}}{\text{мВ}}\cdot\frac{3\text{ В}}{E}=9{,}5\ \frac{\text{мкТл}}{\text{мВ}}.\] Собирая всё вместе, имеем \(V_1=V_0+B_{Ez}/a\) и \(V_2=V_0-B_{Ez}/a\), и поэтому \[V_0=\frac{V_1+V_2}2,\qquad B_{Ez}=\frac{(V_1-V_2)\,a}{2}.\] Численно получаем \(V_0=-1{,}3\text{ мВ}\), \(B_{Ez}=(V_1-V_2)a/2=50\text{ мкТл}\).

Теперь можно измерить и горизонтальную составляющую магнитного поля. Для этого повернём датчик горизонтально и будем поворачивать его в горизонтальной плоскости так, чтобы показание было максимальным: \(V_3=0{,}2\text{ мВ}\); тогда горизонтальную составляющую можно найти как \[B_{Eh}=(V_3-V_0)\,a\approx14\text{ мкТл}.\] Модуль магнитного поля находится как \(B_E=\sqrt{B_{Eh}^2+B_{Ez}^2}\), численно \(\approx52\text{ мкТл}\); можно также повернуть датчик в трёхмерном пространстве так, чтобы показание было максимальным, \(V_{\max}=1{,}6\text{ мВ}\), что даёт \(B_E=(V_{\max}-V_0)a\approx52\text{ мкТл}\).

Угол между вертикалью и направлением магнитного поля находится как \(\theta=\mathrm{arctg}\,\dfrac{B_{Eh}}{B_{Ez}}\), численно \(\approx16^\circ\).

iii) Проводим измерения так же, как раньше, но нужно помнить, что вычитать надо не только смещение, но и вклад магнитного поля Земли. Проще всего вычесть из всех показаний напряжение \(V_1\), которое включает и вклад поля Земли, и смещение.

Обратите внимание, что данные несимметричны относительно \(y=0\); это связано с неоднородностью полоски. Значения поля у края полоски должны быть выше, чем посередине.

Среднее значение можно вычислить численным интегрированием (например, по правилу трапеций или Симпсона): \[\langle B\rangle=\int B_z\,\mathrm dy\Big/w,\] где ширина полоски \(w=30\text{ мм}\). Численное интегрирование даёт \(\int B_z\,\mathrm dy\approx752\text{ мкТл}\cdot\text{см}\), откуда \(\langle B\rangle\approx252\text{ мкТл}\).

Наконец, используя приведённые выше числа, получаем \(\kappa=0{,}80\).

iv) Действуем аналогично предыдущему заданию, только теперь нужно вычесть ещё и поле постоянного магнита (раньше расстояние до магнита было настолько велико, что его полем можно было пренебречь). Для этого повторяем опыт только с магнитом, удалив полоску как можно дальше.

v) Магнитный поток «втягивается» в ферромагнитные материалы (так при заданном магнитном потоке минимизируется энергия магнитного поля). Однако ферромагнетик будет втягивать поле лишь до тех пор, пока не наступит насыщение, начиная с которого это уже энергетически невыгодно. Для нашего магнитомягкого ферромагнетика \(\mu\gg1\), поэтому намагниченность \(\vec J=\vec B/\mu_0-\vec H\approx\vec B/\mu_0\). Это значит, что нам достаточно определить поле \(\vec B=B_x\hat x\), втянутое в ферромагнитную полоску: \(\mu_0J=B_x\).

Из закона Гаусса для магнитного поля \[B_x(x=a)\,wt=2w\kappa\int_a^LB_z\,\mathrm dx .\] Здесь \(a=3\text{ см}\) — точка, в которой мы вычисляем поле \(B\). При ещё меньших \(x\) намагниченность чуть больше, но разница невелика (её можно оценить через утечку магнитного потока от \(x=0\) до \(x=a\)). Множитель два отражает то, что магнитный поток выходит из полоски и через верхнюю, и через нижнюю поверхность.

Интегрируя численно по правилу трапеций или Симпсона, получаем \[\int_a^LB_z\,\mathrm dx\approx79\text{ мТл}\cdot\text{см}.\] Наконец, получаем \[\mu_0J_s=2\int_a^LB_z\,\mathrm dx\Big/t\approx2{,}5\text{ Тл}.\]

vi) В принципе, есть два способа показать, что насыщение достигнуто.

Первый способ — оценить полный поток магнитного поля \(\Phi\approx\pi B_0d^2/4\), посылаемый постоянным магнитом в ферромагнитную полоску, где \(B_0\) — оценка индукции магнитного поля на круглой грани магнита, а \(d\approx1\text{ см}\) — диаметр магнита. Если этот поток больше потока \(\Phi_s=2w\kappa\int_a^LB_z\,\mathrm dx\), то насыщение достигнуто.

Из полученных выше результатов находим \(\Phi_s\approx79\text{ мТл}\cdot\text{см}\cdot w\approx0{,}24\text{ Тл}\cdot\text{см}^2\).

Значение \(B_0\) можно оценить, экстраполируя данные измерения поля вдоль оси магнита с помощью зависимости для поля диполя \(B\propto l^{-3}\), где \(l\) — расстояние до центра магнита. Результат: \(B_0\approx0{,}7\text{ Тл}\) и \(\Phi\approx0{,}5\text{ Тл}\cdot\text{см}^2\). Это больше, чем \(\Phi_s\), но не намного, поэтому вычисления должны быть точными.

Второй способ — поместить магнит в центр полоски и повторить измерения магнитного поля вдоль полоски, как в задании iv). Оказывается, что зависимость напряжённости поля от расстояния до магнита такая же, как и раньше. Это означает, что теперь магнит посылает в полоску вдвое больший поток — от центра к обоим концам полоски. Следовательно, раньше полоска могла проводить лишь половину или меньше полного потока магнита.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.