Давление насыщенных паров воды

Над водой давление воздуха в колбе складывается из давления сухого воздуха (закон Бойля — Мариотта) и давления насыщенного пара; по наклону зависимости \(\Delta P(\Delta V)\) находят \(P_s\), а производную \(dP_s/dT\) из нагрева при постоянном объёме подставляют в уравнение Клапейрона — Клаузиуса.

1.1) \(P_0=735\) мм рт. ст.;  1.2) \(\Delta P=\dfrac{P_0}{V_0}(\Delta V_{\max}-\Delta V)\);  1.4) \(V_0\approx540\) мл;  2.1) \(t=51^\circ\)C;  2.3) \(\Delta P=\dfrac{P_0-P_s}{V_0'}(\Delta V_{\max}-\Delta V)\), \(P_s\approx130\) мм рт. ст.;  3.2) \(L=\dfrac{RT^2}{M}\dfrac{1}{P_s}\dfrac{dP_s}{dT}\approx3{,}0\cdot10^6\) Дж/кг.

Часть 1. Измерение внутреннего объема.

1.1 Все измерения проведены при атмосферном давлении

\[P_0 = 735\,\text{мм рт.ст.}\tag{1}\]

1.2 Используя закон Бойля – Мариотта, запишем для газа в приборе

\[P_0(V_0 + \Delta V_{\text{max}}) = (P_0 + \Delta P)(V_0 + \Delta V).\tag{2}\]

Проведем преобразование уравнения (2), полагая изменение объема малым:

\[P_0 + \Delta P = P_0 \frac{V_0 + \Delta V_{\text{max}}}{V_0 + \Delta V} = P_0 \frac{1 + \frac{\Delta V_{\text{max}}}{V_0}}{1 + \frac{\Delta V}{V_0}} \approx P_0 \left(1 + \frac{\Delta V_{\text{max}}}{V_0} - \frac{\Delta V}{V_0}\right) \Rightarrow\]

\[\Delta P = \frac{P_0}{V_0}(\Delta V_{\text{max}} - \Delta V)\tag{3}\]

1.3 В начале измерений поршень находился на отметке \(\Delta V_{\text{max}}\). После присоединения шприца к колбе изменялся объем воздуха \(\Delta V\), при этом измерялась разность давлений \(\Delta P\). Измерения проведены при уменьшении объема и в обратном порядке при его увеличении. В качестве окончательного результата использовано среднее значение. Результаты измерений данной зависимости приведены в таблице 1 и на графике.

Таблица 1.

Полученная зависимость с высокой точностью линейна, поэтому использование приближения (3) оказывается оправданным.

1.4 Из формулы (3) следует, что коэффициент наклона данной зависимости равен \(a = -\frac{P_0}{V_0}\). Экспериментальное значение этого коэффициента (рассчитанного по МНК) равно \(a = -1{,}37 \frac{\text{мм}}{\text{мл}}\), следовательно, внутренний объем прибора равен

\[V_0 = -\frac{P_0}{a} = 540 \text{мл}.\tag{4}\]

Часть 2. Изотермический процесс влажного воздуха.

2.1 Измерения проведены при температуре \(t = 51^\circ\text{C}\).

2.2 Измерения проводились в том же порядке, что и в п.1.2. Результаты измерений приведены в таблице 2 и на графике.

2.3 Полученная зависимость также оказалась близка к линейной. Потому можно воспользоваться выводом, проведенным в п.1.2. Только необходимо учесть, что: – объем занимаемый воздухом уменьшился на объем налитой воды \(V'_{0} = V_{0} - V = 340\) мл; – полученное уравнение описывает изменения давление сухого воздуха, которое в данном случае оказывается меньше атмосферного на величину давления водяного пара \(P_{s}\), поэтому в итоговом уравнении надо давление атмосферное заменить на \((P_{0} - P_{s})\). В итоге теоретическая зависимость задается формулой

\[\Delta P = \frac{P_{0} - P_{s}}{V'_{0}} (\Delta V_{\text{max}} - \Delta V).\tag{5}\]

В данном случае коэффициент наклона экспериментальной зависимости оказался равным \(a = -1{,}78 \frac{\text{мм}}{\text{мл}}\), поэтому

\[a = -\frac{P_{0} - P_{s}}{V'_{0}} \quad \Rightarrow \quad P_{0} - P_{s} = -a V'_{0} \approx 605 \text{ мм рт. ст.}\tag{6}\]

Окончательно находим, что

\[P_{s} \approx 130 \text{ мм рт. ст.}\tag{7}\]

Часть 3. Зависимость давления насыщенных паров от температуры

3.1 Результаты измерений зависимости разности давлений от температуры при описанной методике эксперимента приведены в Таблице 3 и на графике.

Таблица 3.

3.2 Выразим удельный объем водяного пара из уравнения Менделеева - Клапейрона

\[PV = \frac{m}{M} RT \quad \Rightarrow \quad V' = \frac{V}{m} = \frac{RT}{MP}\tag{8}\]

и подставим его в уравнение Клапейрона – Клаузиуса:

\[\frac{dP_s}{dT} = \frac{L}{TV'} = \frac{LMP_s}{RT^2}.\tag{9}\]

Из этого выражение находим, что удельная теплота испарения выражается формулой:

\[L = \frac{RT^2}{M} \left( \frac{1}{P_s} \frac{dP_s}{dT} \right).\tag{10}\]

Для расчета по этой формуле требуется найти производную от давления насыщенного пара по температуре. Ее можно найти по результатам измерений зависимости разности давлений от температуры. Для этого запишем уравнение Клапейрона для сухого воздуха, содержащегося в колбе:

\[\frac{P_0 + \Delta P - P_s}{T} = \frac{P_0 + \Delta P_0 - P_{s0}}{T_0}.\tag{11}\]

Здесь \(\Delta P_0\) разность давлений, \(P_{s0}\) давление насыщенного водяного пара при некоторой температуре \(T_0\), в качестве которой лучше взять температуру, для которой измерено давление насыщенного пара в части 2. Из уравнения (11) находим

\[P_s = P_0 + \Delta P - \frac{T}{T_0} (P_0 + \Delta P_0 - P_{s0})\tag{12}\]

Теперь не сложно найти требуемую производную

\[\frac{dP_s}{dT} = \frac{d(\Delta P)}{dT} - \frac{P_0 + \Delta P_0 - P_{s0}}{T_0}\tag{13}\]

Из графика полученной зависимости находим, что коэффициент его наклона равен

\[a = \frac{d(\Delta P)}{dT} \approx 11{,}0 \frac{\text{мм}}{K}.\tag{14}\]

При средней температуре диапазона \(T = (60 + 273)K = 333K\) давление насыщенного водяного пара равно \(P_{s0} = 130 \text{мм рт.}\) поэтому

\[\frac{dP_s}{dT} = \frac{d(\Delta P)}{dT} - \frac{P_0 + \Delta P_0 - P_{s0}}{T_0} = 11{,}0 - \frac{735 + 100 - 130}{333} = 8{,}9 \frac{\text{мм}}{K}.\tag{15}\]

Тогда, окончательно получим для удельной теплоты испарения

\[L = \frac{RT^2}{M} \left( \frac{1}{P_s} \frac{dP_s}{dT} \right) = \frac{8{,}31 \cdot (333)^2}{18 \cdot 10^{-3}} \frac{8{,}9}{150} = 3{,}0 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}.\tag{16}\]

Найденное значение всего на 30% превышает табличное значение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.