[IPhO-1983] Рассмотрим электрическую схему на рисунке, для которой
\(L_1 = 10\) мГн, \(L_2 = 20\) мГн, \(C_1 = 10\) нФ, \(C_2 = 5\) нФ,
\(R = 100\) кОм. При замкнутом ключе \(K\) схема подключена к источнику переменного
тока. Ток, даваемый источником, имеет постоянную величину, а частота тока может
меняться.
▶Подсказка и ответСкрыть
Подсказка. (а) Примените идеи 44 и 45. Заметим, что для частот \(\nu_+\) и \(\nu_-\) у вас получится уравнение четвёртой степени, которое легко распадается на два квадратных уравнения, одно из которых имеет корни \(\nu_+\) и \(-\nu_-\), а другое — \(-\nu_+\) и \(\nu_-\). Действительно, и отрицательные, и положительные частоты должны быть решениями, потому что физически они дают один и тот же сигнал, \(\cos(\omega t) = \cos(-\omega t)\), и у каждого из этих квадратных уравнений корни явно различаются по модулю. Из-за этого разность \(\nu_+-\nu_-\) на самом деле является суммой двух корней квадратного уравнения, которую можно найти по теореме Виета.
(б) Примените идею 47, чтобы заключить, что есть только одна ненулевая собственная частота, и идею 48, чтобы её найти (приравняйте импеданс между левой и правой частями схемы к бесконечности).
(в, г) Заметим, что есть мода нулевой частоты: постоянный ток может циркулировать в контуре, образованном двумя катушками. Полный ток — это сумма такого постоянного тока и синусоидально колеблющегося тока; используйте начальные условия (значения \(i_{01}\), \(i_{02}\) и \(U_0\)) вместе с законом токов Кирхгофа и тем фактом, что отношение токов конденсаторов равно отношению ёмкостей, чтобы найти соответствующие амплитуды.
Ответ. \(R\sqrt{C/L}\); \(1/\sqrt{LC}\) с \(L = \frac{L_1L_2}{L_1+L_2}\) и \(C = C_1+C_2\); 0{,}1 А; 0{,}2 А.