Ускорение катера зависит от его скорости так, как показано на графике.
Катеру сообщили начальную скорость \(v_0 = 4\) м/с. Какой полный путь он пройдёт,
пока почти не остановится?
▶РешениеСкрыть
Разобьём перемещение на маленькие кусочки, \(s = \sum\Delta s\), где \(\Delta s = v\Delta t\). Если бы функция \(v(t)\) была известна, последняя формула завершила бы нашу задачу, потому что \(\sum v(t)\Delta t\) — это сумма прямоугольников, составляющих площадь под графиком \(v-t\).
Однако ускорение дано нам как функция \(v\), поэтому нужно заменить \(\Delta t\) на \(\Delta v\). Пытаясь это сделать, мы можем ввести ускорение (которое дано нам как функция \(v\)): \[\Delta t = \Delta v\cdot\frac{\Delta t}{\Delta v} = \frac{\Delta v}{\Delta v/\Delta t} = \frac{\Delta v}a.\] Другими словами, \[s = \sum\frac va\Delta v = \int\frac v{a(v)}\,dv.\] Это говорит нам, что ответ равен площади под графиком, изображающим \(\frac v{a(v)}\) как функцию \(v\).
Применив к некоторым различимым точкам данных метод наименьших квадратов с многочленом четвёртой степени, мы видим, что кривая \(a(v)\) хорошо приближается функцией \(0{,}00617211v^4-0{,}0301639v^3+0{,}0581573v^2+0{,}0546369v+0{,}000715828\). Взяв интеграл, получаем \[\int_0^4\frac v{a(v)}\,dv\approx\boxed{39\text{ м}}.\] Не переживайте, если ваш ответ не в точности совпадает с нашим: этот результат трудно определить вручную по приведённому графику. Грубого приближения (в разумных пределах) достаточно.